Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5319 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34775 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 08-Ιουν-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34775 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 08-Ιουν-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 34775
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ=ΑΓ\) και \(\widehat{Α} = 80^{\circ}\). Έστω \(Κ\) σημείο της διχοτόμου της γωνίας \(\widehat{Α}\), τέτοιο ώστε \(ΚΒ=ΚΑ=ΚΓ\).
α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \(ΒΚΑ\) και \(ΓΚΑ\) είναι ίσα. (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε:
i. τις γωνίες \(\widehat{ΑΒΚ}\) και \(\widehat{ΑΓΚ}\), (Μονάδες 8)
ii. τη γωνία \(\widehat{ΒΚΓ}\). (Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Τα τρίγωνα \(ΒΚΑ\) και \(ΓΚΑ\) έχουν:
- \(ΚΑ\) κοινή πλευρά
- \(ΒΚ = ΚΓ\), από υπόθεση
- \(ΑΒ = ΑΓ\), από υπόθεση.
Οπότε τα τρίγωνα \(ΒΚΑ\) και \(ΓΚΑ\) είναι ίσα, γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία (κριτήριο ΠΠΠ).
β)
i. Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με βάση τη \(ΒΓ\), ισχύει ότι \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\) \((1)\).
Επειδή η \(ΑΚ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{Α}\), ισχύει ότι \(\widehat{ΒΑΚ} = \widehat{ΚΑΓ} = \dfrac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}\).
Επειδή είναι \(ΚΒ = ΚΑ\), το τρίγωνο \(ΚΑΒ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΑΒ\), οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του θα είναι ίσες, δηλαδή \(\widehat{ΑΒΚ} = \widehat{ΒΑΚ} = 40^{\circ}\).
Ομοίως, επειδή \(ΚΑ = ΚΓ\) και το τρίγωνο \(ΑΓΚ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΑΓ\), οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του θα είναι ίσες, δηλαδή \(\widehat{ΚΓΑ} = \widehat{ΚΑΓ} = 40^{\circ}\).
Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΚ\) έχουμε:
$$\widehat{ΑΚΒ} + \widehat{ΑΒΚ} + \widehat{ΒΑΚ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΑΚΒ} + 2 \cdot 40^{\circ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{ΑΚΒ} = 100^{\circ}$$
Ομοίως από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΓΚ\) βρίσκουμε ότι \(\widehat{ΑΚΓ} = 100^{\circ}\).
ii. Είναι \(\widehat{ΒΚΓ} + \widehat{ΑΚΒ} + \widehat{ΑΚΓ} = 360^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΚΓ} + 100^{\circ} + 100^{\circ} = 360^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΚΓ} + 200^{\circ} = 360^{\circ}\), οπότε \(\widehat{ΒΚΓ} = 160^{\circ}\).
