Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 7365 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34776 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Ιουν-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34776 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Ιουν-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 34776
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\widehat{Α} = 90^{\circ}\)). Έστω \(Δ\) σημείο της πλευράς \(ΑΓ\) τέτοιο ώστε η διχοτόμος \(ΔΕ\) της γωνίας \(\widehat{ΑΔΒ}\) να είναι παράλληλη στην πλευρά \(ΒΓ\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i. \(\widehat{ΕΔΒ} = \widehat{ΔΒΓ}\) και \(\widehat{ΕΔΑ} = \widehat{Γ}\), (Μονάδες 8)
ii. το τρίγωνο \(ΒΔΓ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
β) Αν είναι \(\widehat{ΑΔΒ} = 60^{\circ}\), τότε να υπολογίσετε τη γωνία \(\widehat{Γ}\). (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α)
i. Ισχύει ότι:
- \(\widehat{ΕΔΒ} = \widehat{ΔΒΓ}\) \((1)\), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΔΕ\) και \(ΒΓ\) που τέμνονται από τη \(ΒΔ\).
- \(\widehat{ΕΔΑ} = \widehat{Γ}\) \((2)\), ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΔΕ\) και \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΑΓ\).
ii. Αφού η \(ΔΕ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{ΑΔΒ}\), θα ισχύει ότι \(\widehat{ΕΔΒ} = \widehat{ΕΔΑ}\) \((3)\).
Από \((1)\), \((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι \(\widehat{ΔΒΓ} = \widehat{Γ}\) \((4)\).
Οπότε το τρίγωνο \(ΒΔΓ\) έχει δυο γωνίες ίσες, άρα θα είναι ισοσκελές με \(ΔΒ = ΔΓ\).
β) Η \(\widehat{ΑΔΒ}\) είναι εξωτερική του τριγώνου \(ΔΒΓ\) οπότε θα είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του, δηλαδή θα ισχύει \(\widehat{ΑΔΒ} = \widehat{Γ} + \widehat{ΔΒΓ}\) με \(\widehat{ΑΔΒ} = 60^{\circ}\) από τα δεδομένα και \(\widehat{ΔΒΓ} = \widehat{Γ}\) λόγω της σχέσης \((4)\), οπότε:
$$60^{\circ} = \widehat{Γ} + \widehat{Γ} \;\Rightarrow\; 60^{\circ} = 2\widehat{Γ} \;\Rightarrow\; \widehat{Γ} = 30^{\circ}$$
