Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5838 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34783 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 05-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34783 | ||
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 05-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 34783
Θεωρούμε παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) και τμήματα \(ΑΑ΄\), \(ΓΓ΄\) κάθετα στη διαγώνιο \(ΒΔ\) από τις κορυφές \(Α\), \(Γ\) αντίστοιχα. Αν τα σημεία \(Α΄\) και \(Γ΄\) δεν ταυτίζονται, να αποδείξετε ότι:
α) \(ΑΑ΄ \parallel ΓΓ΄\), (Μονάδες 8)
β) \(ΑΑ΄ = ΓΓ΄\), (Μονάδες 10)
γ) Το τετράπλευρο \(ΑΓ΄ΓΑ΄\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Επειδή τα \(ΑΑ΄\) και \(ΓΓ΄\) είναι κάθετα στην \(ΒΔ\), τότε θα είναι παράλληλα ως κάθετα στην ίδια ευθεία, δηλαδή \(ΑΑ΄ \parallel ΓΓ΄\).
β) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(ΑΑ΄Δ\) και \(ΓΓ΄Β\), τα οποία είναι ορθογώνια, αφού \(ΑΑ΄\) και \(ΓΓ΄\) κάθετα στη \(ΒΔ\) από την υπόθεση:
- \(ΑΔ = ΒΓ\), διότι είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\).
- \(\widehat{ΑΔΑ΄} = \widehat{ΓΒΓ΄}\), ως γωνίες εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΔ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΒΔ\).
Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΑ΄Δ\) και \(ΓΓ΄Β\) είναι ίσα γιατί έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, άρα και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{ΑΔΑ΄}\) και \(\widehat{ΓΒΓ΄}\) των τριγώνων θα είναι ίσες, δηλαδή \(ΑΑ΄ = ΓΓ΄\).
γ) Επειδή είναι \(ΑΑ΄ \parallel ΓΓ΄\) από α) ερώτημα και \(ΑΑ΄ = ΓΓ΄\) από β) ερώτημα, το τετράπλευρο \(ΑΓ΄ΓΑ΄\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ένα ζεύγος απέναντι πλευρών παράλληλες και ίσες.
