Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5169 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 35411 Θέμα: 3
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 35411
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

α) Αν οι αριθμοί \(4-x\), \(x\), \(2\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό \(x\).
(Μονάδες 9)

β) Αν οι αριθμοί \(4-x\), \(x\), \(2\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό \(x\).
(Μονάδες 9)

γ) Να βρεθεί ο αριθμός \(x\) ώστε οι αριθμοί \(4-x\), \(x\), \(2\) να είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί \(4-x\), \(x\), \(2\) είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x=\dfrac{4-x+2}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x=6-x $$ $$\Leftrightarrow 3x=6 $$ $$\Leftrightarrow x=2$$

β) Οι αριθμοί \(4-x\), \(x\), \(2\) είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x^{2}=(4-x)\cdot 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=8-2x $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=2^{2}-4\cdot 1\cdot (-8)$$ $$=4+32=36>0$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{-2\pm 6}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-2+6}{2} =2 \\ \dfrac{-2-6}{2} = - 4 \end{cases}$$

γ) Από τα ερωτήματα α) και β) βρίσκουμε \(x=2\).