Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5645 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36087 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 22-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36087 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 22-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 36087
Στο παρακάτω σχήμα ισχύουν \(ΔΒ=ΒΑ=ΑΓ=ΓΕ\) και \(\widehat{ΒΑΓ} = 40^{\circ}\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(\widehat{ΑΒΔ} = \widehat{ΑΓΕ} = 110^{\circ}\), (Μονάδες 10)
β) τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) είναι ίσα, (Μονάδες 10)
γ) το τρίγωνο \(ΔΑΕ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)
ΛΥΣΗ
α) Επειδή είναι \(ΑΒ = ΑΓ\) από την υπόθεση, το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) θα είναι ισοσκελές με βάση \(ΒΓ\), οπότε \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση του \(ΒΓ\).
Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), βρίσκουμε:
$$\widehat{Α} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; 40^{\circ} + 2\widehat{Β} = 180^{\circ} \;\Rightarrow\; 2\widehat{Β} = 140^{\circ} \;\Rightarrow\; \widehat{Β} = 70^{\circ}$$
Οι γωνίες \(\widehat{ΑΒΔ}\) και \(\widehat{ΑΓΕ}\) είναι παραπληρωματικές των ίσων γωνιών \(\widehat{Β}\) και \(\widehat{Γ}\), οπότε:
$$\widehat{ΑΒΔ} = \widehat{ΑΓΕ} = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$$
β) Τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) έχουν:
- \(ΔΒ = ΓΕ\), από υπόθεση
- \(ΒΑ = ΑΓ\), από υπόθεση
- \(\widehat{ΑΒΔ} = \widehat{ΑΓΕ} = 110^{\circ}\) από το α) ερώτημα
Οπότε τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) είναι ίσα, γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ).
γ) Από την ισότητα των τριγώνων \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) συμπεραίνουμε ότι οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες τους \(\widehat{ΑΒΔ}\) και \(\widehat{ΑΓΕ}\) θα είναι ίσες, δηλαδή \(ΑΔ = ΑΕ\). Άρα το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ισοσκελές.
