Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Έναρξη Θερινών: 15 Ιουνίου
Έναρξη Θερινών: 15/6
Πληροφορίες
Επισήμανση θέματος Επισήμανση Προσθήκη στις Εκτυπώσεις Προσθήκη Εκτύπωση Μεμονωμένου Θέματος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5555 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36089 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 22-Ιουλ-2024 Ύλη: 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 36089
Ύλη: 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα
Τελευταία Ενημέρωση: 22-Ιουλ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 36089

Θεωρούμε παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\). Αν οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών \(\widehat{Δ}\) και \(\widehat{Β}\) τέμνουν τις πλευρές \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) στα σημεία \(Ε\) και \(Ζ\) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα \(ΑΕΔ\) και \(ΒΓΖ\) είναι ίσα, (Μονάδες 12)

β) το τετράπλευρο \(ΔΕΒΖ\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

Έστω παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) και \(ΔΕ\), \(ΒΖ\) οι διχοτόμοι των γωνιών του \(\widehat{Δ}\), \(\widehat{Β}\) αντίστοιχα.

Αφού \(\widehat{Δ} = \widehat{Β}\) ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\), τότε και τα μισά τους θα είναι ίσα, δηλαδή \(\widehat{Δ}_1 = \widehat{Δ}_2 = \widehat{Β}_1 = \widehat{Β}_2\) \((1)\).

α) Τα τρίγωνα \(ΑΕΔ\) και \(ΒΓΖ\) έχουν:

  • \(ΑΔ = ΒΓ\), ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου,
  • \(\widehat{Δ}_1 = \widehat{Β}_2\), από σχέση \((1)\),
  • \(\widehat{Α} = \widehat{Γ}\), ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου.

Οπότε τα τρίγωνα \(ΑΕΔ\) και \(ΒΓΖ\) έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ), άρα είναι ίσα.

β) Από την προηγούμενη ισότητα των τριγώνων \(ΑΕΔ\) και \(ΒΓΖ\) προκύπτει ότι:

  • οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{Α}\) και \(\widehat{Γ}\) είναι ίσες, δηλαδή \(ΔΕ = ΒΖ\) \((2)\) καθώς και
  • οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{Δ}_1\) και \(\widehat{Β}_2\) είναι ίσες, δηλαδή \(ΑΕ = ΓΖ\) \((3)\).

Επειδή είναι \(ΑΒ = ΓΔ\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) και \(ΑΕ = ΓΖ\) από σχέση \((3)\), τότε \(ΒΕ = ΑΒ - ΑΕ = ΓΔ - ΓΖ = ΔΖ\), δηλαδή \(ΒΕ = ΔΖ\) \((4)\).

Οπότε το τετράπλευρο \(ΔΕΒΖ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει τις απέναντι πλευρές του \(ΔΕ\), \(ΒΖ\) και \(ΒΕ\), \(ΔΖ\) ίσες (σχέσεις 2 και 4).