ΛΥΣΗ

Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(KAB\) (\(KA=KB\)), η διχοτόμος \(KΓ\) της γωνίας του \(\hat{K}\) και σημεία \(Λ\), \(M\) στις προεκτάσεις της πλευράς \(AB\) προς το \(A\) και προς το \(B\) αντίστοιχα τέτοια ώστε \(AΛ = BM\).

α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(KAΛ\) και \(KBM\), τα οποία έχουν:

• \(KA = KB\), από την υπόθεση
• \(\widehat{KAΛ} = \widehat{KBM}\), ως παραπληρωματικές γωνίες των ίσων γωνιών \(\widehat{BAK}\) και \(\widehat{ABK}\) που είναι προσκείμενες στη βάση \(AB\) του ισοσκελούς τριγώνου \(KAB\) (δηλαδή \(\widehat{KAΛ} = 180^{\circ} - \widehat{BAK} = 180^{\circ} - \widehat{ABK} = \widehat{KBM}\))
• \(AΛ = BM\), από υπόθεση.

Οπότε τα τρίγωνα \(KAΛ\) και \(KBM\) έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα (ΠΓΠ). Επομένως θα ισχύει \(KΛ = KM\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{KAΛ}\) και \(\widehat{KBM}\) των ίσων τριγώνων. Άρα το τρίγωνο \(KΛ M\) είναι ισοσκελές.

β) α΄ τρόπος: Η \(KΓ\) είναι διχοτόμος που αντιστοιχεί στη γωνία της κορυφής \(\hat{K}\) του ισοσκελούς τριγώνου \(KAB\), οπότε είναι και διάμεσος του τριγώνου \(KAB\), οπότε \(AΓ = BΓ\).

Από την υπόθεση έχουμε ότι \(AΛ = BM\).

Άρα \(ΓΛ = AΛ + AΓ = BM + BΓ = Γ M\).

Συνεπώς το \(Γ\) είναι μέσο της \(Λ M\) και επομένως η \(KΓ\) είναι διάμεσος του \(KΛ M\).

β΄ τρόπος: Η \(KΓ\) είναι διχοτόμος που αντιστοιχεί στη γωνία της κορυφής \(\hat{K}\) του ισοσκελούς τριγώνου \(KAB\), οπότε είναι και ύψος του τριγώνου \(KAB\), άρα και ύψος του τριγώνου \(KΛ M\). Επειδή το τρίγωνο \(KΛ M\) είναι ισοσκελές η \(KΓ\) είναι και διάμεσος του τριγώνου \(KΛ M\).