Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4011 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36111 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36111 | ||
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\hat{A} = 90^{\circ}\) και \(\hat{Γ} = 25^{\circ}\). Δίνονται επίσης η διάμεσος \(ΑΜ\), το ύψος \(ΑΗ\) από την κορυφή \(Α\) και η διχοτόμος \(ΑΔ\) της γωνίας \(\hat{A}\).
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες \(\widehat{AMB}\), \(\widehat{HAB}\), \(\widehat{AΔB}\). (Μονάδες 15)
β) Να αποδείξετε ότι \(\widehat{MAΔ} = \widehat{ΔAH} = 20^{\circ}\). (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) ισχύει ότι:
$$\hat{B} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \iff \hat{B} + 25^{\circ} = 90^{\circ} \iff \hat{B} = 65^{\circ}.$$
Η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε ισχύει:
$$AM = \frac{BΓ}{2} = MΓ = MB.$$
Άρα τα τρίγωνα \(ΑΜΓ\) και \(ΑΜΒ\) είναι ισοσκελή, οπότε:
$$\widehat{MAΓ} = \hat{Γ} = 25^{\circ} \quad \text{και} \quad \widehat{MAB} = \hat{B} = 65^{\circ}.$$
Η γωνία \(\widehat{AMB}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΑΜΓ\), άρα:
$$\widehat{AMB} = \widehat{MAΓ} + \hat{Γ} = 25^{\circ} + 25^{\circ} = 50^{\circ}.$$
Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΗΑΒ\) ισχύει ότι:
$$\widehat{HAB} + \hat{B} = 90^{\circ} \iff \widehat{HAB} + 65^{\circ} = 90^{\circ} \iff \widehat{HAB} = 25^{\circ}.$$
Η γωνία \(\widehat{AΔB}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΑΔΓ\), άρα:
$$\widehat{AΔB} = \widehat{ΔAΓ} + \hat{Γ} = \frac{\hat{A}}{2} + 25^{\circ} = 45^{\circ} + 25^{\circ} = 70^{\circ}.$$
β) Ισχύει ότι:
$$\widehat{MAΔ} = \widehat{ΔAΓ} - \widehat{MAΓ} = 45^{\circ} - 25^{\circ} = 20^{\circ}$$
$$\widehat{ΔAH} = \widehat{ΔAB} - \widehat{HAB} = 45^{\circ} - 25^{\circ} = 20^{\circ}.$$
Άρα \(\widehat{MAΔ} = \widehat{ΔAH} = 20^{\circ}\).