ΛΥΣΗ

α) Το τμήμα \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), οπότε \(Δ E \parallel AB\) και \(Δ E = \dfrac{AB}{2}\).   \((1)\)

Επειδή είναι \(AB = AΓ\) και το \(Δ\) είναι μέσο της \(ΑΓ\) από υπόθεση, ισχύει ότι:

$$ΔΓ = \frac{AΓ}{2} = \frac{AB}{2},$$

άρα και \(ΔΓ = Δ E\) λόγω της σχέσης \((1)\). Οπότε το τρίγωνο \(ΔΕΓ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΕΓ\).

Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές και \(\hat{B} = 30^{\circ}\) από υπόθεση, ισχύει ότι \(\hat{Γ} = \hat{B} = 30^{\circ}\).

Επειδή το τρίγωνο \(ΔΕΓ\) είναι ισοσκελές, οι γωνίες προσκείμενες στη βάση θα είναι ίσες, δηλαδή \(\widehat{Δ EΓ} = \hat{Γ} = 30^{\circ}\).

Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΔΕΓ\) ισχύει ότι \(\widehat{EΔΓ} + \widehat{Δ EΓ} + \hat{Γ} = 180^{\circ}\), με \(\widehat{Δ EΓ} = \hat{Γ} = 30^{\circ}\), οπότε:

$$\widehat{EΔΓ} + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}, \quad \text{άρα } \widehat{EΔΓ} = 120^{\circ}.$$

β) Το τμήμα \(ΕΔ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε θα είναι ίσο με το μισό της τρίτης πλευράς, δηλαδή θα ισχύει:

$$EΔ = \frac{AB}{2} = \frac{AΓ}{2}\ \ \ (2)$$

Και επειδή το \(Δ\) είναι μέσο της \(ΑΓ\) έχουμε \(AΔ = \dfrac{AΓ}{2} \ \ \ (3)\)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΕΓ\) είναι \(\hat{Γ} = 30^{\circ}\), άρα η απέναντι κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή:

$$AE = \frac{AΓ}{2}\ \ \ (4)$$

Από τις σχέσεις \((2)\), \((3)\) και \((4)\) προκύπτει ότι \(EΔ = AΔ = AE\), οπότε το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ισόπλευρο.