Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6291 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36329 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36329 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και \(ΜΔ\), \(ΝΕ\) οι μεσοκάθετοι των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Αν είναι \(MΔ = NE\), τότε το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12)
β) Αν είναι \(AB = AΓ\), τότε \(MΔ = NE\). (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
Τα τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΑΝΕ\) είναι ορθογώνια, επειδή οι \(ΜΔ\), \(ΝΕ\) είναι κάθετες στις πλευρές \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) αντίστοιχα ως μεσοκάθετοί τους (από τα δεδομένα).
Στα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΑΝΕ\) οι οξείες γωνίες τους είναι συμπληρωματικές, δηλαδή \(\hat{A} + \widehat{AΔ M} = 90^{\circ}\) και \(\hat{A} + \widehat{AEN} = 90^{\circ}\), άρα:
$$\widehat{AΔ M} = \widehat{AEN}\ \ \ (1)$$
α) Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΑΝΕ\) έχουν:
- \(MΔ = NE\) από την υπόθεση
- \(\widehat{AΔ M} = \widehat{AEN}\) από τη σχέση \((1)\)
Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΑΝΕ\) είναι ίσα, γιατί έχουν μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία ίσες μία προς μία. Αφού τα τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΑΝΕ\) είναι ίσα θα ισχύει \(AM = AN\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{AΔ M}\) και \(\widehat{AEN}\) αντίστοιχα.
Όμως είναι \(AM = \dfrac{AB}{2}\) και \(AN = \dfrac{AΓ}{2}\), αφού \(Μ\), \(Ν\) μέσα των \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) αντίστοιχα, και επειδή είναι \(AM = AN\), τότε θα είναι και \(\dfrac{AB}{2} = \dfrac{AΓ}{2}\), οπότε \(AB = AΓ\).
Άρα το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές.
β) Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΜΔ\) και \(ΑΝΕ\) έχουν:
- \(AM = AN\), ως μισά των ίσων πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\)
- \(\hat{A}\) κοινή γωνία
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια και έχουν μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία ίσες μία προς μία, οπότε έχουν \(MΔ = NE\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από την κοινή τους γωνία \(\hat{A}\).