ΛΥΣΗ

α) Επειδή είναι \(ΑΒ = ΑΓ\), το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές, άρα η διάμεσος \(ΑΔ\) είναι ύψος και διχοτόμος του τριγώνου.

Επειδή η \(ΑΔ\) είναι διχοτόμος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) θα είναι \(\widehat{ΔΑΓ} = \widehat{ΒΑΔ} = 30^{\circ}\), οπότε \(\hat{A} = 60^{\circ}\).

Για τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \Rightarrow 60^{\circ} + \hat{B} + \hat{B} = 180^{\circ} \Rightarrow 2\hat{B} = 120^{\circ} \Rightarrow \hat{B} = 60^{\circ}$$

Για το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) ισχύει \(\hat{A} = \hat{B} = \hat{Γ} = 60^{\circ}\), άρα είναι ισόπλευρο.

β) Επειδή είναι \(ΑΔ = ΑΕ\) το τρίγωνο \(ΑΔΕ\) είναι ισοσκελές, οπότε \(\widehat{AΔE} = \widehat{AEΔ}\).

Για τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ ισχύει ότι:

$$\widehat{ΔΑΓ} + \widehat{AΔE} + \widehat{AEΔ} = 180^{\circ} \Rightarrow 30^{\circ} + 2\widehat{AΔE} = 180^{\circ} \Rightarrow \widehat{AΔE} = 75^{\circ} = \widehat{AEΔ}$$

γ) \(\widehat{EΔΓ} = \widehat{AΔΓ} - \widehat{AΔE} = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}\)