Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Έναρξη Θερινών: 15 Ιουνίου
Έναρξη Θερινών: 15/6
Πληροφορίες
Επισήμανση θέματος Επισήμανση Προσθήκη στις Εκτυπώσεις Προσθήκη Εκτύπωση Μεμονωμένου Θέματος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 9541 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36338 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 Ύλη: 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 36338
Ύλη: 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο \(Ο\) και ακτίνες \(ρ\) και \(R\) (\(ρ<R\)). Οι χορδές \(ΔΓ\) και \(ΖΕ\) του κύκλου \((Ο,R)\) εφάπτονται του κύκλου \((Ο, ρ)\) στα σημεία \(Α\) και \(Β\) αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι \(ΔΓ = ΖΕ\). (Μονάδες 12)

β) Αν οι \(ΔΓ\) και \(ΖΕ\) προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο \(Κ\), να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ΚΕΓ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13)

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α) Φέρουμε τις ακτίνες \(ΟΑ\) και \(ΟΒ\) του κύκλου \((Ο, ρ)\) που καταλήγουν στα σημεία επαφής \(Α\) και \(Β\) με τις εφαπτομένες \(ΔΓ\) και \(ΖΕ\) αντίστοιχα. Τότε \(OA \perp ΔΓ\) και \(OB \perp EZ\).

Τα \(ΟΑ\), \(ΟΒ\) είναι αποστήματα των χορδών \(ΔΓ\) και \(ΖΕ\) αντίστοιχα στον κύκλο \((Ο,R)\) και είναι ίσα αφού \(ΟΑ = ΟΒ = ρ\). Άρα και οι χορδές \(ΔΓ\) και \(ΖΕ\) είναι ίσες.

β) Είναι \(ΚΑ = ΚΒ\) \((1)\) ως εφαπτόμενα τμήματα από το \(Κ\) προς τον κύκλο \((Ο, ρ)\). Επειδή τα \(ΟΑ\) και \(ΟΒ\) είναι αποστήματα των χορδών \(ΔΓ\) και \(ΖΕ\) αντίστοιχα, τα σημεία \(Α\) και \(Β\) είναι μέσα των χορδών και επειδή οι χορδές είναι ίσες και τα μισά τους θα είναι ίσα, δηλαδή \(ΑΓ = ΒΕ\) \((2)\).

Αφαιρούμε κατά μέλη τις \((1)\), \((2)\), δηλαδή \(ΚΑ − ΑΓ = ΚΒ − ΒΕ\) οπότε \(ΚΓ = ΚΕ\).

Άρα το τρίγωνο \(ΚΓΕ\) είναι ισοσκελές.