Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5825 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 36348 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 26-Ιουλ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 36348 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 26-Ιουλ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Έστω κύκλος με κέντρο \(Ο\) και ακτίνα \(ρ\). Θεωρούμε κάθετες ακτίνες \(ΟΑ\), \(ΟΓ\) και εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα \(ΑΒ\) τέτοιο ώστε \(ΑΒ = ΟΓ\).
α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα \(ΑΟ\) και \(ΒΓ\) διχοτομούνται. (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου \(ΑΒΟΓ\). (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Η \(ΟΑ\) είναι ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής με την εφαπτόμενη \(ΑΒ\), οπότε \(OA \perp AB\). Επίσης \(OA \perp OΓ\) από υπόθεση, άρα \(AB \parallel OΓ\) ως κάθετες στην ίδια ευθεία \(ΟΑ\).
Επειδή είναι \(AB \parallel OΓ\) και \(ΑΒ = ΟΓ\), τότε το τετράπλευρο \(ΑΒΟΓ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.
Οι \(ΑΟ\) και \(ΒΓ\) είναι διαγώνιες του παραλληλογράμμου, οπότε διχοτομούνται.
β) Το \(ΑΒ\) είναι εφαπτόμενο τμήμα και \(ΟΑ\) η ακτίνα που αντιστοιχεί στο σημείο επαφής \(Α\), οπότε το τρίγωνο \(ΟΑΒ\) είναι ορθογώνιο με \(ΟΑ = ΑΒ = ρ\), αφού \(ΑΒ = ΟΓ\) από δεδομένα και \(ΟΓ = ΟΒ = ρ\), άρα το τρίγωνο είναι τελικά ορθογώνιο και ισοσκελές με βάση \(ΟΒ\).
Τότε \(\widehat{ABO} = \widehat{BOA} = 45^{\circ}\) και \(\widehat{ABO} = \widehat{OΓ A} = 45^{\circ}\) ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου.
Είναι \(\widehat{BOΓ} = \widehat{BOA} + \widehat{AOΓ} = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}\) και \(\widehat{Γ AB} = \widehat{BOΓ} = 135^{\circ}\) διότι είναι απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου.
