Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 3163 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36652 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36652
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=4x+2\) και \(g(x)=x^{2}-9\) με πεδίο ορισμού το \(\mathbb{R}\).

α) βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(g\) με τον άξονα \(x'x\).
(Μονάδες 6)

β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία \((3,0)\) και \((-3,0)\).
(Μονάδες 4)

γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\), \(g\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες.
(Μονάδες 8)

δ) Να βρείτε συνάρτηση \(h\) της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το σημείο \(A(0,3)\) και τέμνει τη γραφική παράσταση της \(g\) σε ένα σημείο του ημιάξονα \(Ox\).
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(g\) με τον άξονα \(x'x\) προσδιορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης \(g(x)=0\). Είναι:

$$g(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-9=0 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=-3 \\ x=3 \end{cases}$$

Επομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι τα \(M(-3,0)\) και \(N(3,0)\).

β) Είναι:

$$f(3)=4\cdot 3+2=14\ne 0$$

και

$$f(-3)=4\cdot (-3)+2=-10\ne 0$$

Επομένως, η γραφική παράσταση της \(f\) δεν τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία \(M(-3,0)\) και \(N(3,0)\).

γ) Έστω ότι υπάρχει κοινό σημείο \((x_{o},0)\) του άξονα \(x'x\) στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις \(C_{f}\) , \(C_{g}\) των \(f\), \(g\). Τότε ισχύει:

$$\begin{cases} f(x_{o})=0 \\ g(x_{o})=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x_{o}+2=0 \\ x_{o}^{2}=9 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{o}=-\dfrac{1}{2} \\ x_{o}=\pm 3 \end{cases}$$

που είναι άτοπο. Άρα οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \(x'x\).
Έστω ότι οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \(y'y\). Τότε έχουμε:

$$f(0)=g(0) $$ $$\Leftrightarrow 2=-9$$

που είναι άτοπο. Άρα οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων \(f\), \(g\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \(y'y\).

δ) Η γραφική παράσταση της \(h\) είναι ευθεία, οπότε ο τύπος της είναι της μορφής \(h(x)=αx+β\), \(α\), \(β\in \mathbb{R}\). Η ευθεία διέρχεται από το σημείο \(Α(0,3)\), οπότε έχουμε:

$$h(0)=3 $$ $$\Leftrightarrow α\cdot 0+β=3 $$ $$\Leftrightarrow β=3$$

Επομένως έχουμε \(h(x)=αx+3\), \(α\in \mathbb{R}\). Επιπλέον, η γραφική παράσταση της \(h\) τέμνει την γραφική παράσταση της \(g\) σε σημείο του ημιάξονα \(Οx\) οπότε ισχύει:

$$h(3)=g(3) $$ $$\Leftrightarrow 3α+3=0 $$ $$\Leftrightarrow α=-1$$

Τελικά η συνάρτηση h έχει τύπο \(h(x)=-x+3\).