Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4232 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36891 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023 Ύλη: 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 36891
Ύλη: 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται γεωμετρική πρόοδος \((α_{ν})\) με θετικό λόγο \(λ\), για την οποία ισχύει: \(α_{3}=1\) και \(α_{5}=4\).

α) Να βρείτε τον λόγο \(λ\) της προόδου και τον πρώτο όρο της.
(Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: \(α_{ν}=2^{ν-3}\).
(Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$\begin{cases} α_{3}=1 \\ α_{5}=4 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}\cdot λ^{2}=1 \\ α_{1}\cdot λ^{4}=4 \end{cases}$$ $$\overset{(:)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} λ^{2}=4 \\ α_{1}\cdot λ^{2}=1 \end{cases}$$ $$\overset{λ>0}{\Leftrightarrow }\begin{cases} λ=2 \\ α_{1}=\dfrac{1}{4} \end{cases}$$

β) Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδουείναι: \(α_{ν}=α_{1}\cdot λ^{ν-1}\), οπότε:

$$α_{ν}=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{1}$$ $$=\dfrac{1}{2^{2}}\cdot 2^{ν-1}$$ $$=\dfrac{2^{ν-1}}{2^{2}}=2^{ν-3}$$