ΛΥΣΗ

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\hat{A} = 90^{\circ}\) και \(\hat{B} > \hat{Γ}\), \(ΑΔ\) το ύψος του προς στην \(ΒΓ\) και \(ΑΜ\) διάμεσός του στην πλευρά \(ΒΓ\).

α) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) (\(\hat{A} = 90^{\circ}\)) ισχύει ότι:

$$\hat{B} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \text{ ή } \hat{B} = 90^{\circ} - \hat{Γ} \quad (1)$$

Αφού \(ΑΔ\) είναι ύψος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) τότε \(\widehat{AΔΓ} = 90^{\circ}\), οπότε το τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι ορθογώνιο. Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΔΓ\) ισχύει ότι:

$$\widehat{Γ AΔ} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{Γ AΔ} = 90^{\circ} - \hat{Γ} \quad (2)$$

Από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει \(\hat{B} = \widehat{Γ AΔ}\).

β)

Αφού η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος στην υποτείνουσα \(ΒΓ\) του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\), τότε θα είναι \(AM = \dfrac{BΓ}{2} = MΓ\), αφού \(Μ\) μέσο της \(ΒΓ\).

Αφού \(ΑΜ = ΜΓ\) τότε το τρίγωνο \(ΑΜΓ\) είναι ισοσκελές γιατί έχει δυο πλευρές του ίσες, οπότε \(\hat{Γ} = \widehat{MAΓ}\) \((3)\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση του \(ΑΓ\).

Στο τρίγωνο \(ΑΜΔ\) η γωνία \(\widehat{AMΔ}\) είναι εξωτερική της γωνίας \(\widehat{AMΓ}\) του τριγώνου \(ΑΜΓ\), οπότε θα είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου, δηλαδή \(\widehat{AMΔ} = \widehat{MAΓ} + \hat{Γ}\) και αφού είναι \(\hat{Γ} = \widehat{MAΓ}\) (σχέση \((3)\)), τότε θα είναι:

$$\widehat{AMΔ} = \hat{Γ} + \hat{Γ} \text{ ή } \widehat{AMΔ} = 2\hat{Γ}$$