ΛΥΣΗ

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\hat{A} = 90^{\circ}\), \(ΑΔ\) διχοτόμος της γωνίας \(\hat{A}\) και \(ΔΕ\) παράλληλη στην \(ΑΒ\).

α) Η \(ΕΔ\) είναι παράλληλη στην \(ΑΒ\) και η \(ΑΓ\) είναι κάθετη στην \(ΑΒ\), αφού είναι \(\hat{A} = 90^{\circ}\). Οπότε η \(ΑΓ\) θα είναι κάθετη και στην παράλληλή της \(ΕΔ\).

Άρα, το τρίγωνο \(ΕΔΓ\) είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία \(\widehat{Γ EΔ}\).

β) Επειδή \(ΑΔ\) διχοτόμος της ορθής γωνίας \(\hat{A}\), ισχύει ότι:

$$\hat{A}_1 = \hat{A}_2 = \frac{\hat{A}}{2} = 45^{\circ}$$

Αφού είναι \(\hat{A}_2 = 45^{\circ}\) τότε θα είναι και \(\widehat{AΔ E} = 45^{\circ}\), ως γωνίες εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΕΔ\) και \(ΑΒ\) με τέμνουσα την \(ΑΔ\).

γ) Έστω ότι η \(\hat{B}\) είναι \(20^{\circ}\) μεγαλύτερη της \(\hat{Γ}\), δηλαδή \(\hat{B} = \hat{Γ} + 20^{\circ}\) \((1)\)

Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) ισχύει \(\hat{B} + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) \((2)\)

Οπότε, λόγω της σχέσης \((1)\), η σχέση \((2)\) γίνεται:

$$\hat{Γ} + 20^{\circ} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \text{ ή } 2\hat{Γ} = 70^{\circ} \text{ ή } \hat{Γ} = 35^{\circ}$$

Τότε \(\hat{B} = \hat{Γ} + 20^{\circ} = 55^{\circ}\).

Οι \(\widehat{EΔΓ}\) και \(\hat{B}\) είναι ίσες, ως γωνίες εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΔΕ\), \(ΑΒ\) με τέμνουσα την \(ΒΓ\). Άρα, \(\widehat{EΔΓ} = \hat{B} = 55^{\circ}\).