Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 7452 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37017 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37017 | ||
| Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Σε παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) είναι \(\hat{B} = 120^{\circ}\) και \(ΔΕ ⊥ ΒΓ\). Έστω \(ΕΖ\) η διάμεσος του τριγώνου \(ΔΕΓ\).
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{Γ}\) του παραλληλογράμμου. (Μονάδες 8)
β) Αν \(Κ\) είναι το μέσο της πλευράς \(ΑΒ\), να αποδείξετε ότι \(ΕΖ = ΑΚ\). (Μονάδες 9)
γ) Να υπολογίσετε τη γωνία \(\widehat{EZΓ}\). (Μονάδες 8)
ΛΥΣΗ
α)
Οι γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{B}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΑΒ\) οπότε είναι παραπληρωματικές, δηλαδή \(\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ}\) και αφού \(\hat{B} = 120^{\circ}\) άρα \(\hat{A} = 60^{\circ}\).
Οι γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{Γ}\) είναι απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου άρα είναι ίσες, οπότε \(\hat{Γ} = \hat{A} = 60^{\circ}\).
β)
Έστω \(Κ\) το μέσο της πλευράς \(ΑΒ\), τότε θα είναι \(AK = KB = \dfrac{AB}{2}\) \((1)\).
Αφού \(ΔΕ ⊥ ΒΓ\) τότε το τρίγωνο \(ΔΕΓ\) είναι ορθογώνιο και το \(ΕΖ\) είναι διάμεσος (από υπόθεση) που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του \(ΔΓ\), άρα \(EZ = \dfrac{ΔΓ}{2}\) \((2)\).
Είναι \(ΑΒ = ΔΓ\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) οπότε \(\dfrac{AB}{2} = \dfrac{ΔΓ}{2}\) \((3)\)
Επομένως, από τις \((1)\), \((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι \(ΑΚ = ΕΖ\).
γ) Επειδή \(EZ = \dfrac{ΔΓ}{2} = ZΔ = ZΓ\) αφού \(Ζ\) είναι μέσο της \(ΔΓ\), το τρίγωνο \(ΕΖΓ\) είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις \(ΖΕ\), \(ΖΓ\) και τη γωνία \(\hat{Γ} = 60^{\circ}\) από το α) ερώτημα, οπότε θα είναι ισόπλευρο. Άρα \(\widehat{EZΓ} = 60^{\circ}\).