Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5850 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37080 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37080 | ||
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Σε τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) (\(ΑΒ // ΓΔ\)) είναι \(ΓΔ = 2ΑΒ\). Επίσης, τα σημεία \(Ζ\), \(Η\) και \(Ε\) είναι τα μέσα των \(ΑΔ\), \(ΒΓ\) και \(ΔΓ\) αντίστοιχα. Ακόμη η \(ΖΗ\) τέμνει τις \(ΑΕ\), \(ΒΕ\) στα σημεία \(Θ\), \(Ι\) αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \(ΑΒΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10)
β) Να δείξετε ότι:
i. τα σημεία \(Θ\), \(Ι\) είναι μέσα των \(ΑΕ\), \(ΒΕ\) αντίστοιχα. (Μονάδες 5)
ii. \(ZH = \dfrac{3}{2}AB\). (Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Το σημείο \(Ε\) είναι μέσο της πλευράς \(ΔΓ\), άρα \(Γ E = \dfrac{ΓΔ}{2}\) ή \(ΓΔ = 2ΓΕ\).
Από την υπόθεση έχουμε ότι \(ΓΔ = 2ΑΒ\), άρα \(ΓΕ = ΑΒ\) και επιπλέον είναι \(ΓΕ // ΑΒ\) επειδή το \(ΑΒΓΔ\) είναι τραπέζιο. Επομένως το τετράπλευρο \(ΑΒΓΕ\) έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
β) Η \(ΖΗ\) είναι διάμεσος του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) αφού \(Ζ\), \(Η\) τα μέσα των μη παραλλήλων πλευρών του \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\). Άρα \(ΖΗ // ΓΔ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\), το \(Ζ\) είναι μέσο της \(ΑΔ\) και \(ΖΘ // ΔΕ\), άρα το \(Θ\) είναι μέσο της \(ΑΕ\).
Στο τρίγωνο \(ΒΕΓ\) το \(Η\) είναι μέσο της \(ΒΓ\) και \(ΗΙ // ΕΓ\), άρα το \(Ι\) είναι μέσο της \(ΒΕ\).
ii. Επειδή η \(ΖΗ\) είναι διάμεσος του τραπεζίου, θα ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεών του, δηλαδή:
$$ZH = \frac{AB + ΓΔ}{2} = \frac{AB + 2AB}{2} = \frac{3AB}{2} = \frac{3}{2}AB$$
