Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4230 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37084 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.3. Ορθογώνιο 5.10. Τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37084 | ||
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.3. Ορθογώνιο 5.10. Τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ευθεία \((ε)\) και δυο σημεία \(Α\), \(Β\) εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία \(ΑΒ\) να μην είναι κάθετη στην \((ε)\). Φέρουμε \(ΑΔ\), \(ΒΓ\) κάθετες στην \((ε)\) και \(Μ\), \(Ν\) μέσα των \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) αντίστοιχα.
α) Αν τα \(Α\), \(Β\) είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την \((ε)\),
i. να εξετάσετε αν το τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) είναι παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας:
\(ΑΔ < ΒΓ\) (Μονάδες 5)
\(ΑΔ = ΒΓ\) (Μονάδες 5)
ii. να εκφράσετε το τμήμα \(ΜΝ\) σε σχέση με τα τμήματα \(ΑΔ\), \(ΒΓ\) στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6)
β) Αν η ευθεία \((ε)\) τέμνει το τμήμα \(ΑΒ\) στο μέσο του \(Μ\), να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου \(ΑΒΓΔ\) (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο), αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Επειδή \(ΑΔ ⊥ ε\) και \(ΒΓ ⊥ ε\), τα τμήματα \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\) είναι κάθετα στην ίδια ευθεία οπότε είναι μεταξύ τους παράλληλα. Δηλαδή \(ΑΔ // ΒΓ\).
i.
1) Αν \(ΑΔ < ΒΓ\), τότε \(ΑΔ ≠ ΒΓ\) άρα το τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) δεν είναι παραλληλόγραμμο οπότε έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες και είναι τραπέζιο.
2) Αν \(ΑΔ = ΒΓ\), τότε το τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Επειδή \(\hat{Δ} = 90^{\circ}\) (\(ΑΔ ⊥ ε\)), είναι τελικά ορθογώνιο.
ii.
1) Όταν το \(ΑΒΓΔ\) είναι τραπέζιο, τότε το \(ΜΝ\) είναι διάμεσός του, άρα: \(MN = \dfrac{AΔ + BΓ}{2}\).
2) Όταν το \(ΑΒΓΔ\) είναι ορθογώνιο, τότε και τα \(ΑΜΝΔ\), \(ΜΝΓΒ\) είναι ορθογώνια. Γιατί \(ΑΜ = ΔΝ\) ίσα και παράλληλα ως μισά των ίσων πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΔΓ\). Ομοίως \(ΜΒ // ΝΓ\) και τότε \(ΜΝ = ΑΔ = ΒΓ\).
β) Έστω ότι η \((ε)\) τέμνει το \(ΑΒ\) στο μέσο του \(Μ\).
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(ΑΔΜ\) και \(ΜΒΓ\):
- \(\hat{Δ} = \hat{Γ} = 90^{\circ}\)
- \(ΑΜ = ΜΒ\), διότι \(Μ\) μέσο της \(ΑΒ\)
- \(\widehat{AMΔ} = \widehat{BMΓ}\), ως κατακορυφήν.
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση. Οπότε θα έχουν ίσες και τα άλλες κάθετες πλευρές τους, δηλαδή \(ΑΔ = ΒΓ\).
Το τετράπλευρο \(ΑΓΒΔ\) θα είναι παραλληλόγραμμο αφού δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. Επειδή \(ΑΜ > ΜΔ\) και \(ΜΒ > ΜΓ\) θα είναι \(ΑΜ + ΜΒ > ΜΔ + ΜΓ\), οπότε \(ΑΒ > ΓΔ\).
Άρα το \(ΑΓΒΔ\) δεν έχει ίσες διαγώνιες οπότε δεν είναι ορθογώνιο.