Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4352 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37087 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37087 | ||
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και τα ύψη του \(ΒΚ\) και \(ΓΛ\), τα οποία τέμνονται στο \(Ι\). Αν \(Μ\) και \(Ν\) είναι τα μέσα των \(ΙΒ\) και \(ΙΓ\) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το \(ΑΙ\) προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς \(ΒΓ\). (Μονάδες 10)
β) Το τετράπλευρο \(ΜΛΚΝ\) είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α)
Επειδή στο σημείο \(Ι\) τέμνονται τα ύψη \(ΒΚ\) και \(ΛΓ\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\), το \(Ι\) είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου οπότε το \(ΑΙ\) θα βρίσκεται στο φορέα του 3ου ύψους και επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, κάθε ύψος είναι και διάμεσος, άρα η προέκταση του \(ΑΙ\) θα διχοτομεί την πλευρά \(ΒΓ\).
β)
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) τα \(Λ\), \(Κ\) είναι τα μέσα των \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) οπότε \(ΛΚ//= \dfrac{ΒΓ}{2}\) \((1)\).
Στο τρίγωνο \(ΙΒΓ\) τα \(Μ\), \(Ν\) είναι τα μέσα των \(ΙΒ\) και \(ΙΓ\) οπότε \(ΜΝ //= \dfrac{ΒΓ}{2}\) \((2)\).
Από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) έχουμε ότι \(ΛΚ=//ΜΝ\), άρα το \(ΜΛΚΝ\) είναι παραλληλόγραμμο.
Στο τρίγωνο \(ΑΒΙ\) το ευθύγραμμο τμήμα \(ΛΜ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΒΙ\) οπότε \(ΛΜ//ΑΙ\).
Το \(ΑΙ\) βρίσκεται στο φορέα του 3ου ύψους α) άρα \(ΑΙ⊥ΒΓ\) και επειδή \(ΒΓ//ΛΚ\) από τη σχέση \((1)\), θα είναι \(ΑΙ⊥ΛΚ\). Άρα το τμήμα \(ΛΜ\) θα είναι κάθετο στο τμήμα \(ΛΚ\). Επομένως \(\widehat{ΜΛΚ} = 90^{\circ}\) οπότε το παραλληλόγραμμο \(ΜΛΚΝ\) είναι ορθογώνιο γιατί έχει 1 γωνία ορθή.