Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6850 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37094 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37094 | ||
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Έστω \(ΑΒΓ\) τρίγωνο και τα ύψη του \(ΒΕ\) και \(ΓΔ\) που αντιστοιχούν στις πλευρές \(ΑΓ\) και \(ΑΒ\) αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση:
Π: Αν το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΒ=ΑΓ\), τότε τα ύψη \(ΒΕ\) και \(ΓΔ\) που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.
α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)
β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει.
(Μονάδες 10)
γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.
(Μονάδες 5)
ΛΥΣΗ
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και τα ύψη του \(ΒΕ\) και \(ΓΔ\) που αντιστοιχούν στις πλευρές \(ΑΓ\) και \(ΑΒ\) αντίστοιχα.
α) Αν το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΒ=ΑΓ\), τότε τα ύψη \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) είναι ίσα. Τα τρίγωνα \(ΒΔΓ\) και \(ΒΕΓ\) έχουν:
- \(\widehat{Δ} = \widehat{Ε} = 90^{\circ}\) αφού \(ΓΔ\), \(ΒΕ\) ύψη.
- \(ΒΓ\) κοινή πλευρά
- \(\widehat{ΔΒΓ} = \widehat{ΕΓΒ}\), γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\).
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση. Επομένως θα είναι ίσες και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{ΔΒΓ}\) και \(\widehat{ΕΓΒ}\) αντίστοιχα. Δηλαδή \(ΒΕ=ΓΔ\).
β) Αντίστροφη πρόταση: Αν δύο ύψη ενός τριγώνου είναι ίσα, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ίσες τις πλευρές στις οποίες αντιστοιχούν τα ύψη αυτά.
Απόδειξη
Τα τρίγωνα \(ΒΔΓ\) και \(ΒΕΓ\) έχουν:
- \(\widehat{Δ} = \widehat{Ε} = 90^{\circ}\) αφού \(ΓΔ\), \(ΒΕ\) ύψη.
- \(ΒΓ\) κοινή πλευρά
- \(ΒΕ=ΓΔ\) (υπόθεση)
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία κάθετη πλευρά ίση. Οπότε θα έχουν ίσες και τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΒΕ\) και \(ΓΔ\) αντίστοιχα. Δηλαδή \(\widehat{ΔΒΓ} = \widehat{ΕΓΒ}\) ή \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\). Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) έχει δύο γωνίες ίσες, είναι ισοσκελές με \(ΑΒ=ΑΓ\).
γ) Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.