Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 8433 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37095 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37095 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται οξεία γωνία \(x\widehat{O}y\) και δύο ομόκεντροι κύκλοι \((O, \rho_1)\) και \((O, \rho_2)\) με \(\rho_1<\rho_2\), που τέμνουν την \(Οx\) στα σημεία \(Κ\), \(Α\) και στην \(Οy\) στα \(Λ\), \(Β\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΑΛ=ΒΚ\),
(Μονάδες 8)
β) το τρίγωνο \(ΑΡΒ\) είναι ισοσκελές, όπου \(Ρ\) το σημείο τομής των \(ΑΛ\) και \(ΒΚ\),
(Μονάδες 8)
γ) η \(ΟΡ\) διχοτομεί την \(x\widehat{O}y\).
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Τα τρίγωνα \(ΑΟΛ\) και \(ΒΟΚ\) έχουν:
- \(ΟΑ=ΟΒ=\rho_2\)
- \(ΟΚ=ΟΛ=\rho_1\)
- \(\widehat{O}\) κοινή γωνία
Τα τρίγωνα \(ΑΟΛ\) και \(ΒΟΚ\) είναι ίσα, γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία, και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (κριτήριο ΠΓΠ). Άρα θα έχουν ίσες και τις τρίτες πλευρές τους, δηλαδή \(ΑΛ=ΒΚ\).
β) Επειδή \(ΟΑ=ΟΒ\), το τρίγωνο \(ΟΑΒ\) είναι ισοσκελές, οπότε \(O\widehat{A}B = O\widehat{B}A\) γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου \((1)\).
Επίσης \(O\widehat{A}Λ = O\widehat{B}K\) (από την ισότητα των τριγώνων \(ΑΟΛ\) και \(ΒΟΚ\)) \((2)\).
\(O\widehat{A}B - O\widehat{A}Λ = O\widehat{B}A - O\widehat{B}K\), άρα \(P\widehat{A}B = P\widehat{B}A\) (ίσες ως διαφορές ίσων γωνιών).
Οπότε το τρίγωνο \(ΡΑΒ\) έχει δύο γωνίες ίσες οπότε είναι ισοσκελές με βάση την \(ΑΒ\) και ίσες πλευρές τις \(ΡΑ\) και \(ΡΒ\).
γ) Τα τρίγωνα \(ΟΡΑ\) και \(ΟΡΒ\) έχουν:
- \(ΟΑ=ΟΒ=\rho_2\)
- \(ΟΡ\) κοινή πλευρά
- \(ΡΑ=ΡΒ\) (από β) το \(ΑΡΒ\) είναι ισοσκελές τρίγωνο)
Τα τρίγωνα \(ΟΡΑ\) και \(ΟΡΒ\) είναι ίσα, γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία (κριτήριο ΠΠΠ). Άρα θα έχουν ίσες και τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΡΑ\) και \(ΡΒ\) αντίστοιχα, δηλαδή \(A\widehat{O}P = B\widehat{O}P\), επομένως η \(ΟΡ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(x\widehat{O}y\).
