Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6636 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37099 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 01-Αυγ-2024 | Ύλη: | 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37099 | ||
| Ύλη: | 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) και \(Κ\) το σημείο τομής των διαγωνίων του. Φέρουμε \(ΑΗ\) κάθετη στην \(ΒΔ\) και στην προέκταση της \(ΑΗ\) (προς το \(Η\)) θεωρούμε σημείο \(Ε\) τέτοιο ώστε: \(ΑΗ = ΗΕ\). Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο \(ΑΚΕ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 7)
β) Το τρίγωνο \(ΑΕΓ\) είναι ορθογώνιο.
(Μονάδες 9)
γ) Το τετράπλευρο \(ΔΒΓΕ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Στο τρίγωνο \(ΑΚΕ\) το \(ΚΗ\) είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Επειδή \(ΑΒΓΔ\) παραλληλόγραμμο, οι διαγώνιες \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\) διχοτομούνται, οπότε το \(Κ\) είναι μέσο της \(ΑΓ\), οπότε \(ΚΑ = \frac{ΑΓ}{2}\).
Αξιοποιώντας το ερώτημα (α) βρίσκουμε: \(ΕΚ = ΚΑ\) ή \(ΕΚ = \frac{ΑΓ}{2}\).
Άρα στο τρίγωνο \(ΑΕΓ\) η διάμεσός του \(ΕΚ\) ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, συνεπώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή, την \(ΑΓ\), άρα \(\widehat{ΑΕΓ} = 90^{\circ}\).
γ) Ισχύει ότι:
\(ΗΚ \perp ΑΕ\) και \(ΕΓ \perp ΑΕ\), άρα \(ΗΚ \parallel ΕΓ\) ή \(ΒΔ \parallel ΕΓ\) \((1)\).
Στο τρίγωνο \(ΑΔΕ\) το \(ΔΗ\) είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με \(ΔΕ = ΑΔ\).
Επειδή \(ΑΔ = ΒΓ\), προκύπτει ότι \(ΔΕ = ΒΓ\) \((2)\).
Επίσης, \(\widehat{ΕΔΒ} = \widehat{B_2}\) ως εντός και εναλλάξ γωνίες στις παράλληλες ευθείες \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) που τέμνονται από τη \(ΒΔ\). Οπότε \(\widehat{B_1} + \widehat{ΕΔΒ} = \widehat{B_1} + \widehat{B_2} = \widehat{B} < 180^{\circ}\) άρα οι \(ΔΕ\) και \(ΒΓ\) δεν είναι παράλληλες \((3)\).
Από τις \((1)\),\((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι το τετράπλευρο \(ΔΒΓΕ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.