ΛΥΣΗ

α) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) ισχύει ότι:

\(\widehat{ΑΒΓ} + \widehat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(2\widehat{Γ} + \widehat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(3\widehat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{Γ} = 30^{\circ}\)

Τότε \(\widehat{ΑΒΓ} = 2\widehat{Γ} = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\)

Επομένως:

\(\widehat{ΕΒΔ} = 180^{\circ} - \widehat{ΑΒΓ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\)

Από το άθροισμα γωνιών του ισοσκελούς τριγώνου \(ΒΔΕ\) έχουμε:

\(\widehat{ΕΒΔ} + \widehat{Ε} + \widehat{ΕΔΒ} = 180^{\circ}\) ή \(120^{\circ} + 2\widehat{Ε} = 180^{\circ}\) ή \(\widehat{Ε} = 30^{\circ}\). Άρα και \(\widehat{ΕΔΒ} = 30^{\circ}\).

β) i. Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΔ\) ισχύει ότι:

\(\widehat{ΒΑΔ} + \widehat{Β} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΑΔ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΑΔ} = 30^{\circ}\)

Επομένως στο τρίγωνο \(ΑΒΔ\) ισχύει ότι: \(ΒΔ = \frac{ΑΒ}{2}\) ή \(ΒΕ = \frac{ΑΒ}{2}\).

ii. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι \(\widehat{Γ} = 30^{\circ}\), οπότε ισχύει ότι:

\(ΑΒ = \frac{ΒΓ}{2}\) ή \(ΒΓ = 2ΑΒ\).

Έτσι \(ΓΔ = ΒΓ - ΒΔ = 2ΑΒ - \frac{ΑΒ}{2} = \frac{3}{2}ΑΒ\) \((1)\)

Ισχύει ακόμη ότι:

\(ΑΕ = ΑΒ + ΒΕ\) ή \(ΑΕ = ΑΒ + \frac{ΑΒ}{2}\) ή \(ΑΕ = \frac{3}{2}ΑΒ\) \((2)\)

Από \((1)\), \((2)\) συμπεραίνουμε ότι \(ΑΕ = ΓΔ\).