Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4439 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37101 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37101 | ||
| Ύλη: | 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με γωνίες \(Β\) και \(Γ\) οξείες και \(Δ\), \(Μ\) και \(Ε\) τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(ΒΓ\) αντίστοιχα. Στις μεσοκάθετες των \(ΑΒ\) και \(ΒΓ\) και εκτός του τριγώνου \(ΑΒΓ\) θεωρούμε σημεία \(Ζ\) και \(Η\) αντίστοιχα, τέτοια ώστε \(ΔΖ = \frac{ΑΒ}{2}\) και \(ΕΗ = \frac{ΒΓ}{2}\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i. Το τετράπλευρο \(ΒΔΜΕ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 5)
ii. Τα τρίγωνα \(ΖΔΜ\) και \(ΕΜΗ\) είναι ίσα.
(Μονάδες 10)
β) Αν τα σημεία \(Ζ\), \(Δ\), \(Ε\) είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι η γωνία \(\widehat{Α} = 90^{\circ}\).
(Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) i. Επειδή τα \(Δ\) και \(Μ\) είναι μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), ισχύει ότι
\(ΔΜ \parallel ΒΓ\) ή \(ΔΜ \parallel ΒΕ\) και \(ΔΜ = \frac{ΒΓ}{2} = ΒΕ\).
Στο τετράπλευρο \(ΒΔΜΕ\) δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες (\(ΔΜ \parallel= ΒΕ\)), άρα είναι παραλληλόγραμμο.
ii. Τα τρίγωνα \(ΖΔΜ\) και \(ΕΜΗ\) έχουν:
\(ΖΔ = \frac{ΑΒ}{2} = ΒΔ = ΜΕ\), αφού τα \(ΒΔ\) και \(ΜΕ\) είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου
\(ΜΔ = ΒΕ = \frac{ΒΓ}{2} = ΕΗ\), αφού τα \(ΜΔ\), \(ΒΕ\) είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου
\(\widehat{ΜΕΗ} = \widehat{ΖΔΜ}\), διότι
- \(\widehat{ΜΕΗ} = \widehat{ΗΕΓ} + \widehat{ΜΕΓ} = 90^{\circ} + \widehat{ΜΕΓ}\),
- \(\widehat{ΖΔΜ} = 90^{\circ} + \widehat{ΑΔΜ}\),
- \(\widehat{ΜΕΓ} = \widehat{Β}\), ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΜΕ\), \(ΑΒ\) που τέμνονται από την \(ΒΕ\).
- \(\widehat{ΑΔΜ} = \widehat{Β}\), ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΜΔ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΒΔ\).
Τα τρίγωνα \(ΖΔΜ\) και \(ΕΜΗ\) έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες άρα είναι ίσα.
β) Το \(ΜΕ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\) άρα ισχύει ότι:
\(ΜΕ \parallel =\frac{ΑΒ}{2}\) ή \(ΜΕ \parallel =ΑΔ\)
Επομένως το \(ΑΜΕΔ\) είναι παραλληλόγραμμο.
Επειδή τα σημεία \(Ζ\), \(Δ\) και \(Ε\) είναι συνευθειακά και \(ΖΔ \perp ΑΒ\) θα είναι και \(ΕΔ \perp ΑΒ\), δηλαδή \(\widehat{ΕΔΑ} = 90^{\circ}\).
Συνεπώς το παραλληλόγραμμο \(ΑΜΕΔ\) έχει μια γωνία ορθή άρα είναι ορθογώνιο δηλαδή: \(\widehat{Α} = 90^{\circ}\).