ΛΥΣΗ

α) i. Επειδή η \(ΕΜ\) είναι μεσοκάθετος της \(ΒΓ\), το τρίγωνο \(ΕΒΓ\) είναι ισοσκελές οπότε:

\(\widehat{ΕΒΓ} = \widehat{Γ} = 30^{\circ}\)

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΓ\) βρίσκουμε: \(\widehat{Β} + \widehat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{Β} + 30^{\circ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{Β} = 60^{\circ}\)

Τότε \(\widehat{ΑΒΕ} = \widehat{Β} - \widehat{ΕΒΓ} = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\)

Επειδή \(\widehat{ΑΒΕ} = \widehat{ΕΒΓ}\), η \(ΒΕ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{Β}\).

ii. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΕ\) είναι \(\widehat{ΑΒΕ} = 30^{\circ}\), άρα \(ΑΕ = \frac{ΕΒ}{2} = \frac{ΓΕ}{2}\).

iii. Το \(ΑΜ\) είναι διάμεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, άρα \(ΑΜ = \frac{ΒΓ}{2} = ΜΒ\)

Το τρίγωνο \(ΑΜΒ\) είναι ισοσκελές και επιπλέον έχει \(\widehat{Β} = 60^{\circ}\), άρα είναι ισόπλευρο. Η \(ΒΕ\) είναι διχοτόμος του ισόπλευρου τριγώνου \(ΑΒΜ\), οπότε θα τέμνει κάθετα την \(ΑΜ\), άρα το \(ΒΕ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΑΜ\).

β) Έστω \(Ζ\) το σημείο τομής της \(ΒΕ\) με την \(ΑΜ\). Το \(Η\) είναι σημείο τομής των υψών \(ΑΔ\) και \(ΒΖ\), άρα είναι ο ορθόκεντρο του τριγώνου \(ΑΒΜ\), έτσι η \(ΜΗ\) είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου που επειδή είναι ισόπλευρο, θα περνά από το μέσο \(Ν\) της \(ΑΒ\). Άρα τα σημεία \(Μ\), \(Η\) και \(Ν\) είναι συνευθειακά.