Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5893 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37129 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37129 | ||
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Έστω τετράγωνο \(ΑΒΓΔ\) και \(Μ\) το μέσο της πλευράς \(ΔΑ\). Προεκτείνουμε το τμήμα \(ΔΑ\) (προς την πλευρά του Α) κατά τμήμα \(ΑΝ = \frac{ΑΔ}{2}\). Φέρουμε τα τμήματα \(ΓΜ\) και \(ΒΝ\) και θεωρούμε τα μέσα τους \(Κ\) και \(Λ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \(ΜΝΒΓ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 8)
β) Το τετράπλευρο \(ΑΔΚΛ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 9)
γ) Το τετράπλευρο \(ΑΜΚΛ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 8)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(ΜΝ = ΜΑ + ΑΝ = \frac{ΑΔ}{2} + \frac{ΑΔ}{2} = ΑΔ = ΒΓ\) και \(ΑΔ \parallel ΒΓ\). Άρα \(ΜΝ \parallel ΒΓ\) οπότε το τετράπλευρο \(ΜΝΒΓ\) έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες και είναι παραλληλόγραμμο.
β) Ισχύει ότι \(ΜΓ \parallel =ΝΒ\) διότι είναι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΜΝΒΓ\). Επίσης και \(ΜΚ \parallel =ΝΛ\), διότι \(ΜΚ = \frac{ΜΓ}{2}\) και \(ΝΛ = \frac{ΝΒ}{2}\). Άρα το τετράπλευρο \(ΜΚΝΛ\) έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχύει ακόμη ότι \(ΜΝ \parallel =ΚΛ \ \ (1)\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΜΝΛΚ\).
Επίσης \(ΜΝ = ΑΔ\) \((2)\), οπότε από \((1)\), \((2)\) συμπεραίνουμε ότι \(ΑΔ \parallel =ΚΛ\). Επομένως το \(ΑΔΚΛ\) είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Είναι \(ΔΚ \parallel ΑΛ\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΔΚΛ\). Η \(ΚΜ\) τέμνει την \(ΔΚ\) άρα θα τέμνει και την παράλληλή της \(ΑΛ\). Οπότε στο τετράπλευρο \(ΑΜΚΛ\) οι πλευρές \(ΜΚ\) και \(ΑΛ\) δεν είναι παράλληλες. Επίσης ισχύει ότι \(ΜΝ \parallel ΚΛ\), άρα \(ΜΑ \parallel ΚΛ\) \((3)\). Οπότε το τετράπλευρο \(ΑΜΚΛ\) έχει δυο μόνο πλευρές παράλληλες, άρα είναι τραπέζιο.
Επειδή η \(ΑΛ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \(ΝΑΒ\) (αφού \(ΑΒΓΔ\) είναι τετράγωνο), θα ισχύει ότι \(ΑΛ = \frac{ΒΝ}{2} = \frac{ΜΓ}{2} = ΜΚ \ \ (4)\).
Από τις σχέσεις \((3)\), \((4)\) προκύπτει ότι το τετράπλευρο \(ΑΜΚΛ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.