Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5688 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37131 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37131 | ||
| Ύλη: | 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\), με ΑΚ διχοτόμο της γωνίας \(Α\). Στην προέκταση της \(ΑΚ\) θεωρούμε σημείο \(Δ\) ώστε \(ΑΚ = ΚΔ\). Η παράλληλη από το \(Δ\) προς την \(ΑΒ\) τέμνει τις \(ΑΓ\) και \(ΒΓ\) στα \(Ε\) και \(Ζ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο \(ΑΕΔ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 6)
β) Η \(ΕΚ\) είναι μεσοκάθετος της \(ΑΔ\).
(Μονάδες 6)
γ) Τα τρίγωνα \(ΑΚΒ\) και \(ΚΔΖ\) είναι ίσα.
(Μονάδες 7)
δ) Το τετράπλευρο \(ΑΖΔΒ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(\widehat{A_1} = \widehat{A_2}\) \((1)\) αφού \(ΑΚ\) διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{Α}\) και \(\widehat{A_1} = \widehat{Δ_1}\) \((2)\) ως γωνίες εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΒ\), \(ΔΕ\) που τις τέμνει η \(ΑΔ\). Από \((1)\), \((2)\) προκύπτει ότι
\(\widehat{A_2} = \widehat{Δ_1}\).
Άρα το τρίγωνο \(ΑΕΔ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΑΔ\) και ίσες πλευρές τις \(ΕΑ\), \(ΕΔ\).
β) Από την υπόθεση είναι \(ΑΚ = ΚΔ\), οπότε η \(ΕΚ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση \(ΑΔ\) του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΕΔ\) του α) ερωτήματος, άρα η \(ΕΚ\) είναι και ύψος του. Οπότε η \(ΕΚ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΑΔ\).
γ) Τα τρίγωνα \(ΑΚΒ\) και ΚΔΖ έχουν:
\(\widehat{A_1} = \widehat{Δ_1}\) λόγω της \((2)\)
\(\widehat{K_1} = \widehat{K_2}\) ως κατακορυφήν
\(ΑΚ = ΚΔ\), από υπόθεση
Τα τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία άρα είναι ίσα.
δ) Αφού τα τρίγωνα \(ΑΚΒ\) και \(ΚΔΖ\) είναι ίσα (προηγούμενο ερώτημα) τότε θα έχουν και \(ΒΚ = ΚΖ\) ως απέναντι πλευρές των ίσων γωνιών \(\widehat{A_1}\) και \(\widehat{Δ_1}\) αντίστοιχα. Επίσης είναι \(ΑΚ = ΚΔ\) από υπόθεση. Άρα το \(ΑΖΔΒ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.