ΛΥΣΗ

α) Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΒΕΓ\) έχουμε:

\(\widehat{ΕΒΓ} + \widehat{Γ} = 90°\) ή \(\widehat{ΕΒΓ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΕΒΓ} = 30^{\circ}\)

Οπότε, στο τρίγωνο \(ΒΕΓ\) η απέναντι πλευρά από τη γωνία των \(30^{\circ}\) είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή \(ΕΓ = \frac{ΒΓ}{2} = ΑΒ\) \((1)\).

Επειδή είναι \(ΑΒ \parallel ΔΓ\) και το σημείο \(Ε\) της \(ΔΓ\) είναι τέτοιο ώστε \(ΕΓ = ΑΒ\), τότε θα είναι \(ΑΒ \parallel= ΕΓ\), οπότε το τετράπλευρο \(ΑΒΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο.

β) Είναι \(ΔΓ = ΔΖ + ΖΕ + ΕΓ\) \((2)\). Επίσης ισχύουν:

• \(ΔΓ = 4ΑΒ\) από υπόθεση
• \(ΔΖ = ΑΒ\) από υπόθεση
• \(ΕΓ = ΑΒ\) από σχέση \((1)\)

Άρα η σχέση \((2)\) γίνεται \(4ΑΒ = ΑΒ + ΖΕ + ΑΒ\) ή \(ΖΕ = 2ΑΒ\) και επειδή \(2ΑΒ = ΒΓ\) από υπόθεση, είναι \(ΖΕ = ΒΓ\).

Επειδή είναι \(ΒΓ = ΑΕ\), ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΕΓΒ\), άρα \(ΖΕ = ΑΕ\). Οπότε το τρίγωνο \(ΖΑΕ\) είναι ισοσκελές.

Επίσης είναι \(\widehat{ΑΕΖ} = \widehat{Γ} = 60^{\circ}\), ως γωνίες εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΑΕ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΔΓ\), οπότε το ισοσκελές τρίγωνο \(ΖΑΕ\) έχει μια γωνία \(60^{\circ}\), άρα είναι ισόπλευρο.

γ) Τα τρίγωνα \(ΔΑΖ\) και \(ΓΑΕ\) έχουν:

• \(ΔΖ = ΓΕ\), αφού είναι \(ΔΖ = ΑΒ\) (υπόθεση) και \(ΕΓ = ΑΒ\) (σχέση \((1)\))
• \(ΑΖ = ΑΕ\), διότι το τρίγωνο \(ΑΖΕ\) είναι ισόπλευρο (από β) ερώτημα)
• \(\widehat{ΑΖΔ} = \widehat{ΑΕΓ} = 120^{\circ}\), ως παραπληρωματικές των γωνιών \(\widehat{ΑΖΕ} = \widehat{ΑΕΖ} = 60^{\circ}\) του ισοπλεύρου τριγώνου \(ΖΑΕ\).

Τα τρίγωνα \(ΔΑΖ\) και \(ΓΑΕ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες τους ίσες άρα είναι ίσα.