ΛΥΣΗ

α)

i. Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΔΒ\) και ΑΕΓ έχουν:

• \(ΑΔ = ΑΕ\), από υπόθεση
• \(ΑΒ = ΑΓ\), από υπόθεση

Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΔΒ\) και ΑΕΓ έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες οπότε είναι ίσα.

ii. Η ΑΖ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \(ΔΑΒ\), άρα \(ΑΖ = \frac{ΒΔ}{2}\) \((1)\).

Η ΑΗ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \(ΕΑΓ\), άρα \(ΑΗ = \frac{ΓΕ}{2}\) \((2)\).

Επειδή τα τρίγωνα \(ΑΔΒ\) και ΑΕΓ είναι ίσα έχουν και τις υποτείνουσες ΔΒ και ΕΓ ίσες.

Τότε, από τις \((1)\), \((2)\) προκύπτει ότι \(ΑΖ = ΑΗ\), οπότε το τρίγωνο \(ΑΖΗ\) είναι ισοσκελές.

iii. Τα τρίγωνα \(ΜΒΖ\) και ΓΗΜ έχουν:

• \(ΜΒ = ΜΓ\), διότι το Μ είναι μέσο του ΒΓ
• \(ΒΖ = ΗΓ\), ως μισά των ίσων πλευρών ΔΒ και ΕΓ
• \(\widehat{ΖΒΜ} = \widehat{ΜΓΗ}\), διότι οι γωνίες \(Β\) και Γ της βάσης \(ΒΓ\) του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\) είναι ίσες και \(\widehat{ΑΒΔ} = \widehat{ΑΓΕ}\) επειδή είναι απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΑΔ\) και ΑΕ στα ίσα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και ΑΓΕ, οπότε \(\widehat{Β} + \widehat{ΑΒΔ} = \widehat{Γ} + \widehat{ΑΓΕ}\) και συνεπώς \(\widehat{ΖΒΜ} = \widehat{ΜΓΗ}\).

Τα τρίγωνα \(ΜΖΒ\) και ΓΗΜ έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες τους ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΜΖ = ΜΗ\).

Επειδή \(ΑΖ = ΑΗ\), το Α ανήκει στη μεσοκάθετο του ΖΗ και επειδή \(ΜΖ = ΜΗ\), οπότε το Μ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΖΗ. Άρα η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ΖΗ.

β) Οι γωνίες \(\widehat{ΔΑΒ}\) και \(\widehat{ΕΑΓ}\) δεν είναι κατακορυφήν σε κάθε περίπτωση επειδή οι πλευρές τους δεν είναι αντικείμενες ημιευθείες. Οι γωνίες \(\widehat{ΔΑΒ}\) και \(\widehat{ΕΑΓ}\) είναι κατακορυφήν μόνο όταν η γωνία \(\widehat{ΓΑΒ}\) είναι ορθή.