Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5728 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37163 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37163 | ||
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ<ΑΓ\) και η διχοτόμος του \(ΑΔ\). Στην πλευρά \(ΑΓ\) θεωρούμε σημείο \(Ε\) τέτοιο ώστε \(ΑΕ = ΑΒ\).
Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΔΕ\) είναι ίσα.
(Μονάδες 7)
β) η ευθεία \(ΑΔ\) είναι μεσοκάθετος του τμήματος \(ΒΕ\).
(Μονάδες 9)
γ) αν το ύψος από την κορυφή \(Β\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\) τέμνει την \(ΑΔ\) στο \(Η\) τότε η ευθεία \(ΕΗ\) είναι κάθετη στην \(ΑΒ\).
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΔΕ\) έχουν:
- \(ΑΔ\) κοινή πλευρά
- \(ΑΕ = ΑΒ\), από υπόθεση
- \(\widehat{ΒΑΔ} = \widehat{ΔΑΕ}\), διότι \(ΑΔ\) διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{Α}\)
Τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΔΕ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα.
β) Επειδή \(ΑΒ = ΑΕ\) (από υπόθεση) και \(ΔΒ = ΔΕ\) (ως απέναντι πλευρές των ίσων γωνιών \(\widehat{ΒΑΔ}\) και \(\widehat{ΔΑΕ}\) αντίστοιχα των δεδομένων της ισότητας των τριγώνων \(ΑΒΔ\) και \(ΑΔΕ\) του α) ερωτήματος), τα \(Α, Δ\) θα βρίσκονται στη μεσοκάθετο του \(ΒΕ\). Άρα η \(ΑΔ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΒΕ\).
γ) Έστω \(ΒΖ\) το ύψος από την κορυφή \(Β\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\) το οποίο τέμνει την \(ΑΔ\) στο σημείο \(Η\) και \(Θ\) το σημείο στο οποίο η \(ΑΔ\) τέμνει τη \(ΒΕ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΒΕ\) τα \(ΑΘ\) και \(ΒΖ\) είναι ύψη που τέμνονται στο \(Η\) (το \(ΑΘ\) είναι ύψος επειδή βρίσκεται στη μεσοκάθετο \(ΑΔ\) του \(ΒΕ\) από το β) ερώτημα), άρα το σημείο \(Η\) είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου \(ΑΒΕ\), οπότε και το ύψος από την κορυφή \(Ε\) θα διέρχεται από το \(Η\). Συνεπώς το \(ΕΗ\) είναι το τρίτο ύψος και θα είναι κάθετο στην \(ΑΒ\).