Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 7132 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37165 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.3. Ορθογώνιο 5.4. Ρόμβος 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37165 | ||
| Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.3. Ορθογώνιο 5.4. Ρόμβος 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\). Από το \(Β\) φέρουμε κάθετη στην διχοτόμο \(ΑΜ\) της γωνίας \(Α\), η οποία τέμνει την \(ΑΜ\) στο \(Η\) και την \(ΑΓ\) στο \(Δ\). Στην προέκταση της \(ΑΗ\) (προς το \(Η\)) θεωρούμε σημείο \(Ζ\) τέτοιο ώστε \(ΑΗ = ΗΖ\) και έστω \(Θ\) το μέσο της πλευράς \(ΒΓ\).
Να αποδείξετε ότι
α) το τετράπλευρο \(ΑΒΖΔ\) είναι ρόμβος.
(Μονάδες 9)
β) \(ΗΘ // ΒΖ\).
(Μονάδες 9)
γ) \(ΗΘ = \frac{ΑΓ-ΑΒ}{2}\)
(Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Στο τρίγωνο \(ΑΒΔ\) το \(ΑΗ\) είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και το \(ΑΗ\) είναι και διάμεσος. Άρα \(ΒΗ = ΗΔ\). Επίσης από υπόθεση ισχύει ότι \(ΑΗ = ΗΖ\). Συνεπώς, στο τετράπλευρο \(ΑΒΖΔ\) οι διαγώνιες του \(ΑΖ, ΒΔ\) διχοτομούνται κάθετα, άρα το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
β) Το \(ΗΘ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΒΔΓ\), άρα
$$ΗΘ // ΔΓ \iff ΗΘ // ΑΔ \quad (1)$$
Επειδή το \(ΑΒΖΔ\) είναι ρόμβος ισχύει ότι \(ΒΖ // ΑΔ \quad (3)\).
Από τις \((1), (3)\) προκύπτει ότι \(ΗΘ // ΒΖ\)
γ) Το \(ΗΘ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΒΔ\) και \(ΒΓ\) του τριγώνου \(ΒΔΓ\) οπότε
$$ΗΘ = \frac{ΔΓ}{2} = \frac{ΑΓ-ΑΔ}{2} = \frac{ΑΓ-ΑΒ}{2}$$
διότι \(ΑΒ = ΑΔ\) αφού \(ΑΒΖΔ\) είναι ρόμβος.
