Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 7851 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 37166 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 12-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 37166 | ||
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις στο χάρτη πέντε χωριών \(Α, Β, Γ, Δ\) και \(Ε\) και οι δρόμοι που τα συνδέουν. Το χωριό \(Ε\) ισαπέχει από τα χωριά \(Β, Γ\) και επίσης από τα χωριά \(Α\) και \(Δ\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i. η απόσταση των χωριών \(Α\) και \(Β\) είναι ίση με την απόσταση των χωριών \(Γ\) και \(Δ\).
(Μονάδες 5)
ii. αν οι δρόμοι \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) έχουν δυνατότητα να προεκταθούν, να αποδείξετε ότι αποκλείεται να συναντηθούν.
(Μονάδες 5)
iii. τα χωριά \(Β\) και \(Γ\) ισαπέχουν από τον δρόμο \(ΑΔ\).
(Μονάδες 8)
β) Να προσδιορίσετε γεωμετρικά το σημείο του δρόμου \(ΑΓ\) που ισαπέχει από τα χωριά \(Α\) και \(Δ\).
(Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) i. Τα τρίγωνα \(ΑΒΕ\) και \(ΔΓΕ\) έχουν:
- \(ΕΒ = ΕΓ\), από υπόθεση
- \(ΕΑ = ΕΔ\), από υπόθεση,
- \(\widehat{ΑΕΒ} = \widehat{ΔΕΓ}\) ως κατακορυφήν.
Τα τρίγωνα είναι ίσα αφού έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες τους ίσες, οπότε και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{ΑΕΒ}\) και \(\widehat{ΔΕΓ}\) είναι ίσες, δηλαδή \(ΑΒ = ΓΔ\).
ii. Επειδή \(ΕΒ = ΕΓ\) και \(ΕΑ = ΕΔ\), δηλαδή οι διαγώνιοι του \(ΑΒΔΓ\) διχοτομούνται, συμπεραίνουμε ότι το \(ΑΒΔΓ\) είναι παραλληλόγραμμο, οπότε \(ΑΒ//ΓΔ\). Άρα αν οι δρόμοι \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) προεκταθούν, αποκλείεται να συναντηθούν.
iii. Φέρουμε \(ΒΖ \perp ΑΔ\) και \(ΓΗ \perp ΑΔ\). Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΓΕΗ\) και \(ΒΕΖ\) έχουν:
- \(ΕΓ = ΕΒ\), από υπόθεση
- \(\widehat{ΒΕΖ} = \widehat{ΓΕΗ}\), ως κατακορυφήν
Άρα είναι ίσα γιατί έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε ισχύει \(ΒΖ = ΓΗ\) ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{ΒΕΖ}\) και \(\widehat{ΓΕΗ}\) αντίστοιχα, δηλαδή τα \(Β\) και \(Γ\) ισαπέχουν από την \(ΑΔ\).
β) Για να ισαπέχει κάποιο σημείο από τα \(Α\) και \(Δ\), θα πρέπει να ανήκει στη μεσοκάθετο του \(ΑΔ\). Εφόσον θέλουμε το σημείο αυτό να ανήκει στο δρόμο \(ΑΓ\), θα είναι το σημείο τομής της της \(ΑΓ\) με τη μεσοκάθετο του \(ΑΔ\).
Φέρουμε τη μεσοκάθετη \(ε\) του \(ΑΔ\) και ονομάζουμε \(Θ\) το σημείο τομής της με την \(ΑΓ\).
Επειδή κάθε σημείο της μεσοκαθέτου \(ε\) ισαπέχει από τα άκρα \(Α, Δ\) του \(ΑΔ\) συμπεραίνουμε ότι και το σημείο \(Θ\) ισαπέχει από τα \(Α, Δ\).
