Θέμα: 37167

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 8964 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Γεωμετρία	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	37167	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	12-Μαΐ-2026	Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37167
Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ΑΒΓΔ$ με $ΑΒ > ΑΔ$ και οι διχοτόμοι των γωνιών του $ΑΡ, ΒΕ, ΓΣ$ και $ΔΤ$ (όπου $Ρ, Ε$ στην $ΔΓ$ και $Σ, Τ$ στην $ΑΒ$) τέμνονται στα σημεία $Κ, Λ, Μ$ και $Ν$ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Να αποδείξετε ότι:

α) το τετράπλευρο $ΔΕΒΤ$ είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 7)

β) το τετράπλευρο $ΚΛΜΝ$ είναι ορθογώνιο.
(Μονάδες 8)

γ) $ΛΝ // ΑΒ$
(Μονάδες 5)

δ) $ΛΝ = ΑΒ - ΑΔ$
(Μονάδες 5)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα $ΑΔΤ$ και $ΒΓΕ$ έχουν:

$\widehat{ΕΒΓ} = \widehat{ΑΔΤ}$, ως μισά των απέναντι γωνιών $\widehat{Β}$ και $\widehat{Δ}$ του παραλληλογράμμου $ΑΒΓΔ$
$ΑΔ = ΒΓ$, ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου $ΑΒΓΔ$
$\widehat{Α} = \widehat{Γ}$, ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου $ΑΒΓΔ$

Τα τρίγωνα $ΑΔΤ$ και $ΒΓΕ$ έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία άρα είναι ίσα, οπότε έχουν $ΔΤ = ΒΕ \quad (1)$ αφού οι πλευρές αυτές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\widehat{Α}$ και $\widehat{Γ}$ αντίστοιχα.

Επιπλέον, από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων προκύπτει ότι και οι τρίτες τους γωνίες θα είναι ίσες, δηλαδή $\widehat{ΑΔΤ} = \widehat{ΕΒΓ}$, οπότε και $ΑΤ = ΕΓ \quad (2)$ ως πλευρές απέναντι των ίσων γωνιών $\widehat{ΑΔΤ}$ και $\widehat{ΕΒΓ}$.

Επειδή $ΑΒ = ΓΔ$ ($ΑΒΓΔ$ παραλληλόγραμμο) ισχύει:

$$ΑΒ = ΓΔ \iff ΑΤ + ΤΒ = ΔΕ + ΕΓ$$

η οποία λόγω της $(2)$ γράφεται

$$ΤΒ = ΔΕ \quad (3).$$

Από τις $(1), (3)$ προκύπτει ότι το τετράπλευρο $ΔΕΒΤ$ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.

β) Όμοια δείχνουμε ότι το $ΑΣΓΡ$ είναι παραλληλόγραμμο οπότε $ΑΡ// ΣΓ$ και $ΝΚ // ΜΛ$. Επειδή το $ΔΕΒΤ$ είναι παραλληλόγραμμο, είναι $ΜΝ//ΚΛ$, οπότε και το $ΚΛΜΝ$ είναι παραλληλόγραμμο.

Είναι $\widehat{ΝΔΕ} = \widehat{ΣΤΜ}$, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $ΑΒ, ΔΓ$ που τέμνονται από την $ΔΤ$ και $\widehat{ΝΔΕ} = \widehat{ΑΔΝ}$, διότι η $ΔΤ$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{Δ}$.

Άρα είναι $\widehat{ΣΤΜ} = \widehat{ΑΔΝ}$, οπότε το τρίγωνο $ΑΔΤ$ είναι ισοσκελές με βάση την $ΔΤ$.

Η $ΑΝ$ είναι διχοτόμος του τριγώνου $ΑΔΤ$, οπότε είναι ύψος και διάμεσός του, δηλαδή $\widehat{Ν} = 90^o$. Τελικά, επειδή το παραλληλόγραμμο $ΚΛΜΝ$ έχει μία γωνία ορθή, είναι ορθογώνιο.

γ) Το τρίγωνο $ΑΔΤ$ είναι ισοσκελές (το αποδείξαμε στο β ερώτημα) οπότε $ΑΔ = ΑΤ \quad (4)$. Άρα η $ΑΝ$ είναι και διάμεσος, οπότε το $Ν$ είναι στο μέσο του $ΔΤ$. Όμοια προκύπτει ότι στο τρίγωνο $ΓΒΕ$ το $Λ$ είναι στο μέσο του $ΒΕ$. Από το παραλληλόγραμμο $ΔΕΒΤ$ βρίσκουμε:

$$ΔΤ // = ΒΕ \iff \frac{ΔΤ}{2} // = \frac{ΒΕ}{2} \iff ΔΝ // = ΕΛ$$

Άρα το $ΔΝΛΕ$ έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Συνεπώς είναι $ΛΝ // ΔΕ$ οπότε και $ΝΛ // ΑΒ$.

δ) Είναι $ΛΝ = ΒΤ = ΑΒ - ΑΤ$ και λόγω της $(4)$ γίνεται

$$ΛΝ = ΑΒ - ΑΔ$$