Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5464 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37205 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 Ύλη: 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 37205
Ύλη: 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στη θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της \(1^\text{ης}\) ημέρας καλύπτει \(3\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.), στο τέλος της \(2^\text{ης}\) ημέρας καλύπτει \(6\) τ.μ, στο τέλος της \(3^\text{ης}\) ημέρας καλύπτει \(12\) τ.μ. και γενικά εξαπλώνεται έτσι ώστε στο τέλος κάθε ημέρας να καλύπτει επιφάνεια διπλάσια από αυτήν που κάλυπτε την προηγούμενη.

α) Να βρείτε την επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος της \(5^\text{ης}\) ημέρας μετά από το ατύχημα.
(Μονάδες 7)

β) Πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει \(768\) τ.μ.;
(Μονάδες 9)

γ) Στο τέλος της \(9^\text{ης}\) ημέρας επεμβαίνει ο κρατικός μηχανισμός και αυτομάτως σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμενης ημέρας η επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά \(6\) τ.μ. και συνεχίζει να μειώνεται κατά \(6\) τ.μ. την ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα \(12\) τ.μ.
(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

Η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι γεωμετρικής προόδου με \(α_{1}=3\) και \(λ=2\). Στο τέλος της ν-οστής ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια \(α_{ν}=α_{1}\cdot λ^{1}\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.).

α) Στο τέλος της \(6^\text{ης}\) ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια:

$$α_{5}=3\cdot 2^{5-1}$$ $$=3\cdot 2^{4}$$ $$=3\cdot 16=48\ \text{τ.μ.}$$

β) Δεδομένο είναι το \(α_{ν}=768\) και ζητούμενο είναι το \(ν\). Έχουμε ισοδύναμα:

$$α_{ν}=768$$ $$\Rightarrow 3\cdot 2^{ν-1}=768$$ $$\Rightarrow 2^{ν-1}=256$$ $$\Rightarrow 2^{ν-1}=2^{8}$$ $$\Rightarrow ν-1=8$$ $$\Rightarrow ν=9$$

Οπότε στο τέλος της \(9^\text{ης}\) ημέρας θα έχει καλυφθεί από πετρέλαιο θαλάσσια επιφάνεια \(768\) τ.μ.

γ) Στο τέλος της \(10^\text{ης}\) ημέρας η επιφάνεια της θάλασσας που έχει καλυφθεί από πετρέλαιο είναι \(768-6=762\) τ.μ. και κάθε επόμενη ημέρα θα μειώνεται κατά \(6\) τ.μ. Άρα η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που θα καλύπτει εφεξής το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι αριθμητικής προόδου \((β_{ν})\) με \(β_{1}=762\) και \(ω=-6\).

Δεδομένο είναι ότι \(β_{ν}=12\) και ζητούμενο είναι το \(ν\). Έχουμε ισοδύναμα:

$$β_{ν}=762$$ $$\Rightarrow 762+(ν-1)\cdot (-6)=12$$ $$\Rightarrow 6ν=756$$ $$\Rightarrow ν=126$$

Συνεπώς στο τέλος της \(126^\text{ης}\) ημέρας μετά από την κρατική παρέμβαση και συνολικά στο τέλος της \(9+126=135^\text{ης}\) ημέρας μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα \(12\) τ.μ.