Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1923 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38792 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38792 | ||
| Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ένα είδος γρήγορα αναπτυσσόμενων τοξικών φυκιών εμφανίζεται την 1η Απριλίου, σε μια λίμνη ως αποτέλεσμα της προβληματικής διαχείρισης της γύρω περιοχής (κοντινά αγροκτήματα με απόβλητα και ένα εγκαταλελειμμένο ορυχείο υδραργύρου). Τα φύκια εμφανίζονται αρχικά σε μία μικρή ποσότητα \(α\), χωρίς να γίνουν αμέσως αντιληπτά. Αρχίζουν να αναπτύσσονται και να καλύπτουν την επιφάνεια της λίμνης με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μέρα να καλύπτουν τη διπλάσια επιφάνεια από εκείνη που κάλυπταν την προηγούμενη ημέρα. Εάν συνεχίσουν να αναπτύσσονται με αυτόν τον ρυθμό, η επιφάνεια \(Λ\) της λίμνης θα καλυφθεί πλήρως στις 30 Απριλίου, θέτοντας σε κίνδυνο όποιον οργανισμό ζει κοντά ή μέσα στη λίμνη.
α) Να γράψετε μία σχέση που να περιγράφει την επιφάνεια \(Λ_{9}\) της λίμνης που έχει καλυφθεί από τα φύκια στις 9 Απριλίου και μία σχέση που να περιγράφει την επιφάνεια της λίμνης που έχει καλυφθεί από τα φύκια οποιαδήποτε ημέρα \(ν\) του Απριλίου.
(Μονάδες 6)
β) Ποιο μέρος της λίμνης έχει καλυφθεί από τα φύκια στις 26 Απριλίου; Να εξηγήσετε πώς καταλήξατε στην απάντησή σας.
(Μονάδες 6)
γ) Ποια ημέρα τα φύκια θα έχουν καλύψει τη μισή λίμνη; Να εξηγήσετε πώς καταλήξατε στην απάντησή σας.
(Μονάδες 4)
δ) Στις 29 Απριλίου βιολόγοι φτάνουν στη λίμνη και προσπαθούν να την καθαρίσουν από τα φύκια, όμως δεν καταφέρνουν να τα αφαιρέσουν εντελώς όλα. Εκτιμούν ότι το \(0,5\%\) της συνολικής επιφάνειας της λίμνης παραμένει καλυμμένο με φύκια. Σε πόσες ημέρες θα έχει καλυφθεί πάλι όλη η λίμνη με φύκια μετά από αυτή την παρέμβαση των βιολόγων; Να αιτιολογήστε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) \(Λ_{9}=α\cdot 2^{8}\) και \(Λ_{ν}=α\cdot 2^{ν-1}\), αφού η επιφάνεια της λίμνης που καλύπτεται με φύκια κάθε ημέρα \(ν\) του Απριλίου, με \(ν\) φυσικό από 1 έως και 30, αποτελεί όρο γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο \(α\) και λόγο \(2\).
β) Ζητάμε τον λόγο \(\dfrac{Λ_{26}}{Λ}\) = \(\dfrac{Λ_{26}}{Λ_{30}}\), αφού η λίμνη θα καλυφθεί πλήρως στις 30 Απριλίου. Έχουμε:
$$\dfrac{Λ_{26}}{Λ_{30}}=\dfrac{α\cdot 2^{25}}{α\cdot 2^{29}}=\dfrac{1}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}$$
γ) Αφού τα φύκια κάθε μέρα καλύπτουν διπλάσια επιφάνεια από αυτή που κάλυπταν την προηγούμενη και η λίμνη θα καλυφθεί πλήρως στις 30 Απριλίου, η μισή λίμνη θα έχει καλυφθεί την 29η Απριλίου. Εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε το \(ν\) ώστε \(Λ_{ν}=\dfrac{Λ_{30}}{2}\) ή \(α \cdot 2^{ν-1}=\dfrac{α \cdot2^{29}}{2}\), απ’ όπου προκύπτει \(ν=29\)
δ) Η επιφάνεια της λίμνης που καλύπτεται με φύκια κάθε ημέρα μετά την παρέμβαση των βιολόγων αποτελεί όρο γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο \(0,5%Λ\) και λόγο \(2\), όπου \(Λ\) η συνολική επιφάνεια της λίμνης. Η πρόοδος έχει νιοστό όρο \(0,5%Λ\cdot 2^{ν-1}\).
Ζητάμε την ημέρα \(ν\) ( \(ν\) φυσικός) κατά την οποία όλη η επιφάνεια της λίμνης θα καλυφθεί με φύκια, δηλαδή: \(0,5%Λ\cdot 2^{ν-1}\ge Λ\) ή \(2^{ν-2} \ge100\) από όπου με δοκιμές, αφού \(ν\) φυσικός, βρίσκουμε ότι \(9\) ημέρες μετά από την παρέμβαση των βιολόγων θα έχει και πάλι καλυφθεί όλη η λίμνη.