Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1698 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38804 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 18-Οκτ-2025 | Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38804 | ||
| Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 18-Οκτ-2025 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ο Αντρέας θέλει να φτιάξει μια μάλλινη κουβέρτα ενώνοντας μεταξύ τους πλεχτά σχήματα, όπως αυτά που φαίνονται παρακάτω, και καλύπτοντας τα κενά με ύφασμα.
Χρειάζεται να υπολογίσει πόσα τετραγωνάκια θα πλέξει, για να ξέρει πόσα κουβάρια μαλλί πλεξίματος να αγοράσει. Το κάθε κουβάρι είναι \(140\ m\) μαλλί. Όπως βλέπουμε, σε κάθε ένα από τα σχήματα του παρακάτω σχεδίου υπάρχει μια τετράγωνη «τρύπα» στη μέση. Τα σχήματα στο παρακάτω σχέδιο δεν είναι ίδια, ακολουθούν όμως ένα μοτίβο, δηλαδή στο 1ο σχήμα η «τρύπα» αντιστοιχεί σε ένα τετραγωνάκι, στο 2ο σχήμα η «τρύπα» αντιστοιχεί σε 4 τετραγωνάκια, στο 3ο σχήμα σε 9, κοκ. Για το κάθε πλεγμένο τετραγωνάκι χρειαζόμαστε \(16\ cm\) μαλλί.
α)
Από πόσα πλεγμένα τετραγωνάκια αποτελείται το δέκατο σχήμα στη σειρά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)Η «τρύπα» στη μέση του δέκατου σχήματος σε πόσα τετραγωνάκια αντιστοιχεί; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 3)
β) Από πόσα πλεγμένα τετραγωνάκια αποτελείται το \(ν-\) οστό σχήμα στη σειρά; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 4)
γ) Ο Αντρέας σκέφτηκε να φτιάξει μια ομάδα σχημάτων του μοτίβου, την οποία θα επαναλαμβάνει για να πλέξει την κουβέρτα. Μια τέτοια ομάδα είναι π.χ. η παρακάτω, όπου φαίνονται τα τρία πρώτα σχήματα. Μια άλλη ομάδα θα μπορούσε να έχει τα τέσσερα πρώτα σχήματα, ή τα πέντε πρώτα κ.ο.κ.
Να υπολογίσετε πόσα σχήματα του μοτίβου θα πρέπει να φτιάξει, ώστε τα τετραγωνάκια που θα πλέξει να είναι μεταξύ \(500\) και \(600\).
(Μονάδες 8)Ο Αντρέας αποφάσισε να φτιάξει τα \(10\) πρώτα σχήματα του μοτίβου και, για να καλύψει όσο το δυνατόν περισσότερα κενά στη κουβέρτα, αποφάσισε να πλέξει \(7\) τέτοιες δεκάδες και επιπλέον κάποια μεμονωμένα σχήματα. Πόσα περίπου κουβάρια μαλλί θα πρέπει να αγοράσει, για να φτιάξει την κουβέρτα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 6)
Δίνονται: \(\sqrt{616}\approxeq 24,8\) και \(\sqrt{516}\approxeq 22,7\).
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
- Παρατηρούμε ότι:
το 1ο σχήμα αποτελείται από: \(5^{2}-1^{2}-4=20\) τετραγωνάκια πλεγμένα,
το 2ο σχήμα αποτελείται από: \(6^{2}-2^{2}-4=28\) τετραγωνάκια πλεγμένα,
το 3ο σχήμα αποτελείται από: \(7^{2}-3^{2}-4=36\) τετραγωνάκια πλεγμένα.
Οπότε το 10ο σχήμα θα αποτελείται από \(14^{2}-10^{2}-4=92\) τετραγωνάκια πλεγμένα. - Παρατηρούμε ότι:
στο 1ο σχήμα η «τρύπα» αντιστοιχεί σε: \(1=1^{2}\) τετραγωνάκι,
στο 2ο σχήμα η «τρύπα» αντιστοιχεί σε: \(4=2^{2}\) τετραγωνάκια,
στο 3ο σχήμα η «τρύπα» αντιστοιχεί σε: \(9=3^{2}\) τετραγωνάκια.
Οπότε στο 10ο σχήμα η «τρύπα» αντιστοιχεί σε: \(10^{2}=100\) τετραγωνάκια.
β) Παρατηρούμε ότι:
ο 1ος όρος του μοτίβου αποτελείται από: \((1+4)^{2}-1^{2}-4=20\) τετραγωνάκια,
ο 2ος όρος του μοτίβου αποτελείται από: \((2+4)^{2}-2^{2}-4=28\) τετραγωνάκια,
ο 3ος όρος του μοτίβου αποτελείται από: \((3+4)^{2}-3^{2}-4=36\) τετραγωνάκια.
Οπότε ο \(ν\) -οστός όρος του μοτίβου θα αποτελείται από: \(α_{ν}=(ν+4)^{2}-ν^{2}-4=8ν+12\) τετραγωνάκια.
Αυτός είναι ο γενικός όρος αριθμητικής προόδου διαφοράς \(ω=8\), αφού \(α_{\text{ν+1}}-α_{ν}=8(ν+1)+12-8ν-12=8\), για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό \(ν\ge 1\).
Εναλλακτικά, παρατηρούμε ότι το πρώτο σχήμα αποτελείται από \(20\) πλεγμένα τετραγωνάκια, το δεύτερο από 2 \(8\), το τρίτο από \(36\), δηλαδή τα τετραγωνάκια αυξάνονται κατά \(8\). Άρα τα πλεγμένα τετραγωνάκια είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_{1}=20\) και διαφορά \(ω=8\). Οπότε το \(ν-\) οστό σχήμα στη σειρά αποτελείται από \(α_{ν}=20+(ν-1)\cdot 8=8ν+12\) πλεγμένα τετραγωνάκια.
γ)
- Ζητάμε το πλήθος των \(ν\) πρώτων σχημάτων, ώστε \(500<S_{ν}<600\), δηλαδή
$$500<\dfrac{ν}{2}\cdot [2\cdot 20+(ν-1)\cdot 8]<600, \text{οπότε}$$ $$500<ν[20+(ν-1)\cdot 4]<600, \text{ισοδύναμα}$$ $$500<4ν^{2}+16ν<600, \text{ισοδύναμα}$$ $$125<ν^{2}+4ν<150,$$
οπότε λύνοντας τις ανισώσεις προκύπτει ότι \(ν\in (9,4, 10,4)\). Άρα, επειδή ο \(ν\) είναι φυσικός αριθμός, θα πρέπει να φτιάξει \(10\) σχήματα με τη σειρά που δίνονται.
- Τα \(10\) πρώτα σχήματα του μοτίβου αποτελούνται από
\(S_{10}=\dfrac{10}{2}\cdot [2\cdot 20+(10-1)\cdot 8]=560\) πλεγμένα τετραγωνάκια. Οπότε οι \(7\) δεκάδες αποτελούνται από \(7\cdot 560=3920\) τετραγωνάκια. Για να πλέξει ο Αντρέας το κάθε τετραγωνάκι, χρειάζεται \(16\ cm\) μαλλί, άρα συνολικά \(3920\cdot 16=62720\ cm=627,2\ m\) μαλλί, που είναι περίπου \(5\) κουβάρια μαλλί (\(627,20÷140=4,48\)).