Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2095 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38806 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38806 | ||
| Ύλη: | 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Η Βάσω θα ήθελε να επισκεφθεί την Πάρο την πρώτη εβδομάδα του Ιουλίου. Τα εισιτήρια και το ξενοδοχείο θα στοιχίσουν \(285\) ευρώ. Αποφάσισε λοιπόν την πρώτη εβδομάδα του Ιανουαρίου να βάλει στην άκρη \(5\) ευρώ για το ταξίδι, τη δεύτερη εβδομάδα \(7\) ευρώ, την τρίτη \(9\) ευρώ κ.ο.κ.
α) Να δείξετε ότι τα χρήματα που εκφράζουν το ποσό που αποταμιεύει η Βάσω κάθε εβδομάδα είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά αυτής της προόδου.
(Μονάδες 7)
β)
Πόσα χρήματα θα μαζέψει σε \(1\) μήνα;
(Μονάδες 4)Να εξετάσετε αν θα έχει μαζέψει έγκαιρα τα χρήματα που χρειάζεται για να πάει στην Πάρο.
(Μονάδες 7)
γ) Προς το τέλος Ιανουαρίου η Βάσω πρότεινε στη φίλη της την Κατερίνα να κάνουν μαζί αυτό το ταξίδι. Της Κατερίνας της άρεσε η ιδέα, είχε ήδη \(30\) ευρώ στην άκρη, οπότε άρχισε αμέσως να εξοικονομεί χρήματα, για να συμπληρώσει το ποσό. Τον Φεβρουάριο κατάφερε και έβαλε στην άκρη \(4\) ευρώ, τον Μάρτιο \(10\) ευρώ, τον Απρίλιο \(25\) ευρώ κ.ο.κ. Θα καταφέρει να έχει εγκαίρως το ποσό που χρειάζεται για το ταξίδι;
(Μονάδες 7)
Δίνεται \(\sqrt{1156}= 34\) και \(5^{5}=3125\).
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Η Βάσω ξεκινά να αποταμιεύει \(5\) € την πρώτη εβδομάδα και αυξάνει το ποσό κατά \(2\) € κάθε εβδομάδα. Άρα τα χρήματα που αποταμιεύει κάθε εβδομάδα η Βάσω είναι όροι α.π. με πρώτο όρο \(α_{1}=5\) και διαφορά \(ω=2\).
β)
- Σε ένα μήνα, δηλαδή σε \(4\) εβδομάδες, θα έχει μαζέψει:
\(S_{4}=\dfrac{4}{2}(2\cdot 5+3\cdot 2) =32\) ευρώ.
Εναλλακτική απάντηση : Αν η Βάσω αποταμιεύει κάθε ποσό στην αρχή κάθε εβδομάδας, τότε θα πρέπει να υπολογίσουμε τους 5 πρώτους όρους, δηλαδή
\(S_{5}=\dfrac{5}{2}(2\cdot 5+4\cdot 2)=45\) ευρώ. - Θα βρούμε σε πόσες εβδομάδες θα έχει εξοικονομήσει η Βάσω \(285\) €, δηλαδή θα βρούμε το \(ν\), ώστε \(S_{ν}=285,\) δηλαδή
\(\dfrac{ν}{2}([2\cdot 5+(ν-1)\cdot 2]=285\), οπότε
\(ν^{2}+4ν-285=0\).
Η εξίσωση έχει διακρίνουσα \(Δ=4^{2}-4\cdot 1\cdot (-285)=1156>0\) και ρίζες τις
\(ν_{1}=\dfrac{-4+\sqrt{1156}}{2}=\dfrac{-4+34}{2}=15\)
\(ν_{2}=\dfrac{-4-\sqrt{1156}}{2}=\dfrac{-4-34}{2}=-19,\) η οποία απορρίπτεται, καθώς οι εβδομάδες δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός.
Άρα η Βάσω θα χρειαστεί \(15\) εβδομάδες, δηλαδή \(3\) μήνες και \(3\) εβδομάδες, για να μαζέψει \(285\) €. Ξεκίνησε να μαζεύει τα χρήματα την 1η εβδομάδα του Ιανουαρίου, άρα θα τα έχει μετά την πρώτη εβδομάδα του Απριλίου και θα μπορέσει να πάει στην Πάρο τον Ιούλιο.
Εναλλακτική απάντηση: Ο Ιανουάριος και ο Μάρτιος έχουν από \(4,5\) εβδομάδες, ενώ ο Φεβρουάριος έχει \(4\). Άρα, μέχρι το τέλος Μαρτίου θα έχουν περάσει \(13\) εβδομάδες και θα απομένουν ακόμα \(2\). Οπότε η Βάσω θα έχει συγκεντρώσει τα χρήματα μετά τη δεύτερη εβδομάδα του Απριλίου και θα μπορέσει να πάει στην Πάρο τον Ιούλιο.
γ) Η Κατερίνα αποταμιεύει τον Φεβρουάριο \(4\) ευρώ, τον Μάρτιο \(10\) ευρώ, τον Απρίλιο \(25\) ευρώ κ.ο.κ. Παρατηρούμε ότι: \(\dfrac{10}{4}=\dfrac{25}{10}=\dfrac{5}{2}=2,5\), δηλαδή τα χρήματα που εξοικονομεί κάθε μήνα είναι όροι γ.π. με \(α_{1}=4\) και \(λ=2,5\).
Για να καταφέρει η Κατερίνα να πάει στην Πάρο, πρέπει από τον Φεβρουάριο μέχρι τον Ιούλιο, σε διάστημα \(5\) μηνών, να έχει εξοικονομήσει τουλάχιστον \(285\) ευρώ. Οπότε υπολογίζουμε το:
\(S_{5}=α_{1}\cdot \dfrac{λ^{5}-1}{λ-1}=4\cdot \dfrac{(\dfrac{5}{2})^{5}-1}{\dfrac{5}{2}-1}\)
\(=\dfrac{8}{3}(\dfrac{3125}{32}-1)=\dfrac{3125}{12}-\dfrac{8}{3}\)
\(=\dfrac{3125}{12}-\dfrac{32}{12}=\dfrac{3093}{12}=257,75\) ευρώ.
Έχει και \(30\) ευρώ από πριν, οπότε στο σύνολο \(287,75\) ευρώ. Άρα η Κατερίνα τα κατάφερε!