Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1538 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38810 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38810 | ||
| Ύλη: | 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Η Νεφέλη και ο Ιάσονας θέλουν να ανοίξουν ένα μικρό καφέ στη γειτονιά τους και, για να πραγματοποιήσουν το σχέδιό τους, σκέφτονται να επενδύσουν ένα αρχικό κεφάλαιο μαζί. Αφού συζήτησαν τα οικονομικά τους, η Νεφέλη αποφάσισε να επενδύσει \(4.000\) ευρώ περισσότερα από τον Ιάσονα.
α) Αν \(x\) είναι το ποσό που θα επενδύσει ο Ιάσονας, να γράψετε μία σχέση που να εκφράζει το συνολικό ποσό που θα επενδύσουν μαζί ως συνάρτηση του \(x\).
(Μονάδες 4)
β) Ο λογιστής τους τους ενημέρωσε ότι για να έχουν μια πιο ασφαλή επένδυση, θα πρέπει το συνολικό ποσό που θα επενδύσουν να είναι από \(16.000\) ευρώ έως \(30.000\) ευρώ.
i. Πόσο είναι το μικρότερο και πόσο το μεγαλύτερο ποσό που μπορεί να επενδύσει ο Ιάσονας;
(Μονάδες 5)
ii. Οι οικονομίες της Νεφέλης είναι \(20.000\) ευρώ. Με βάση τα παραπάνω θα μπορούσε να επενδύσει όλο αυτό το ποσό; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 6)
iii. Ποιο είναι το διάστημα των ποσών που μπορεί να επενδύσει η Νεφέλη;
(Μονάδες 5)
γ) Η Νεφέλη σκέφτεται να επενδύσει \(17.000\) ευρώ και να δανείσει \(3.000\) ευρώ στον Ιάσονα, ώστε να συμπεριλάβει τα χρήματα αυτά στο δικό του αρχικό κεφάλαιο. Αν \(x\) είναι το ποσό που έχει στην άκρη ο Ιάσονας, να γράψετε και να λύσετε μία ανίσωση, η οποία να προσδιορίζει τα χρήματα που έχει ήδη αποταμιεύσει, ώστε το συνολικό ποσό επένδυσης και των δύο φίλων να μην υπερβαίνει τις \(30.000\) ευρώ.
(Μονάδες 5)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Έστω \(x\) το κεφάλαιο που θα επενδύσει ο Ιάσονας και \(y=x+4.000\) της Νεφέλης. Η συνολική επένδυση των δύο φίλων θα είναι το άθροισμα των δύο κεφαλαίων.
Επομένως \(f(x)=x+(x+4.000)=x+x+4.000=2x+4.000\).
Άρα η συνάρτηση που εκφράζει το συνολικό ποσό που θα επενδύσουν η Νεφέλη και ο Ιάσονας ως συνάρτηση του \(x\), δηλαδή του κεφαλαίου του Ιάσονα είναι η:
$$f(x)=2x+4.000$$
β)
i.
$$16.000\le f(x)\le 30.000$$ $$\Leftrightarrow 16.000\le 2x+4.000\le 30.000$$ $$\Leftrightarrow 16.000-4.000\le 2x\le 30.000-4.000$$ $$\Leftrightarrow 12.000\le 2x\le 26.000$$ $$\Leftrightarrow 6.000\le x\le 13.000\ \ \ \ (1)$$
Άρα ο Ιάσονας μπορεί να επενδύσει από \(6.000\) ευρώ έως και \(13.000\) ευρώ.
ii. Αν η Νεφέλη επενδύσει \(20.000\) ευρώ, ο Ιάσονας θα πρέπει να επενδύσει:
$$20.000-4.000=16.000\text{ ευρώ}$$
Όμως το \(16.000\) είναι μεγαλύτερο από το \(13.000\), που είναι το μέγιστο ποσό που μπορεί να επενδύσει ο Ιάσονας, για να συνεχίσει να είναι ασφαλής η επένδυση. Άρα η Νεφέλη δεν μπορεί να επενδύσει όλο το ποσό των \(20.000\) ευρώ.
iii. Αφού η Νεφέλη επένδυσε \(4.000\) περισσότερα από τον Ιάσονα, για να βρούμε το διάστημα των δυνατών ποσών που μπορεί να επενδύσει, θα πάρουμε την ανίσωση (1) του β) ερωτήματος και θα προσθέσουμε \(4.000\) σε όλα τα μέλη:
$$6.000+4.000\le x+4.000\le 13.000+4.000$$ $$\Leftrightarrow 10.000\le y\le 17.000\ \ \ \ (2)$$
Άρα η Νεφέλη μπορεί να επενδύσει από \(10.000\) ευρώ έως και \(17.000\) ευρώ.
γ) Έστω ότι \(a\) είναι το ποσό που έχει αποταμιεύσει ο Ιάσονας. Η Νεφέλη επενδύει \(17.000\) και δανείζει \(3.000\) ευρώ στον Ιάσονα. Άρα το συνολικό ποσό που επενδύουν μαζί είναι:
$$K=17.000+(a+3.000)=20.000+a$$
Το ποσό αυτό όμως δεν πρέπει να υπερβαίνει τις \(30.000\) ευρώ, δηλαδή:
$$20.000+a\le 30.000$$ $$\Leftrightarrow a\le 30.000-20.000$$ $$\Leftrightarrow a\le 10.000$$
Άρα ο Ιάσονας πρέπει να έχει αποταμιεύσει το πολύ \(10.000\) ευρώ, ώστε το συνολικό ποσό επένδυσης της Νεφέλης και του Ιάσονα μαζί να μην υπερβαίνει τις \(30.000\) ευρώ.