ΛΥΣΗ
α) Για την πόλη του Αγρινίου:

$$|Τ_{Α}(3)-Τ_{Α}(0)|=|12,5-10|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Α}(6)-Τ_{Α}(3)|=|15-12,5|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Α}(9)-Τ_{Α}(6)|=|17,5-15|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Α}(12)-Τ_{Α}(9)|=|20-17,5|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Α}(15)-Τ_{Α}(12)|=|20-17,5|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Α}(18)-Τ_{Α}(15)|=|19-22,5|=|-3,5|=3,5°C$$ $$|Τ_{Α}(21)-Τ_{Α}(18)|=|15,5-19|=|-3,5|=3,5°C$$ $$|Τ_{Α}(24)-Τ_{Α}(21)|=|12-15,5|=|-3,5|=3,5°C$$

Η θερμοκρασία στην πόλη του Αγρινίου από τις \(12\) τα μεσάνυχτα \((00:00)\) έως και τις και \(15.00\) το μεσημέρι είναι ανοδική με σταθερή θετική διαφορά μεταξύ των τρίωρων στους \(2,5^οC\), ενώ μετά τις \(15:00\), σύμφωνα με τις καταγεγραμμένες μετρήσεις των παιδιών, είναι καθοδική με μεγαλύτερη σταθερή διαφορά \(3,5^οC\) .
Για την πόλη της Καβάλας:

$$|Τ_{Κ}(3)-Τ_{Κ}(0)|=|9,5-7|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Κ}(6)-Τ_{Κ}(3)|=|12-9,5|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Κ}(9)-Τ_{Κ}(6)|=|14,5-12|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Κ}(12)-Τ_{Κ}(9)|=|17-14,5|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Κ}(15)-Τ_{Κ}(12)|=|19,5-17|=|2,5|=2,5°C$$ $$|Τ_{Κ}(18)-Τ_{Κ}(15)|=|16-19,5|=|-3,5|=3,5°C$$ $$|Τ_{Κ}(21)-Τ_{Κ}(18)|=|12,5-16|=|-3,5|=3,5°C$$ $$|Τ_{Κ}(24)-Τ_{Κ}(21)|=|9-12,5|=|-3,5|=3,5°C$$

Η θερμοκρασία στην πόλη της Καβάλας από τις \(12\) τα μεσάνυχτα \((00:00)\) έως και τις και \(15.00\) το μεσημέρι είναι ανοδική με σταθερή θετική διαφορά μεταξύ των τρίωρων στους \(2,5^ο C\), ενώ μετά τις \(15:00\) μέχρι τα μεσάνυχτα \((24:00)\), σύμφωνα με τις καταγεγραμμένες μετρήσεις των παιδιών, είναι καθοδική με μεγαλύτερη σταθερή διαφορά \(3,5^ο C\).
Παράλληλα, η διαφορά θερμοκρασίας στο Αγρίνιο από τις \(00:00\) μέχρι τις \(15:00\) είναι η ίδια με αυτή στην Καβάλα και η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ \(15:00\) και \(24:00\) είναι επίσης η ίδια και στις δύο πόλεις.
β)
i. H \(T_{A}\) αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση της θερμοκρασίας στο Αγρίνιο ως συνάρτηση της ώρας (\(x\)), ενώ η \(T_{K}\) για τη θερμοκρασία στην πόλη της Καβάλας ως συνάρτηση της ώρας \((x)\).

ii. Η συνάρτηση \(Τ_{Α}(x)\) είναι κλαδική και γραμμική, δηλαδή της μορφής \(Τ_{Α}(x)=ax+β\),
και αποτελείται από \(2\) κλάδους, έναν για τις ώρες από \(00:00\) έως \(15:00\) και άλλον έναν από \(15:00\) έως \(24:00\).

Για το Αγρίνιο για τις ώρες \(0\le x\le 12\) επιλέγουμε τις θερμοκρασίες δύο διαδοχικών τρίωρων του πίνακα μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα και υπολογίζουμε την κλίση της ευθείας, η οποία είναι:
\(α_{1}\) = \(\dfrac{12,5-10}{3-0}=\dfrac{2,5}{3}=\dfrac{5}{6}\).

Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το \(β_1\) :
Για \(x=0,\ T_{A}(0)=10\)
\(\Leftrightarrow 10=\dfrac{5}{6}\cdot 0 +β_1 \Leftrightarrow β_1=10\).

Άρα \(T_{A1}(x)=\dfrac{5}{6}\cdot x+10\)

Για το χρονικό διάστημα \(15\le x\le 24\) επιλέγουμε τις θερμοκρασίες δύο διαδοχικών τρίωρων του πίνακα και υπολογίζουμε την κλίση της ευθείας, η οποία είναι:

$$α_{2} = \dfrac{15,5-19}{21-18}=\dfrac{-3,5}{3}=\dfrac{-7}{6}$$

Στις \(18:00\) το μεσημέρι η θερμοκρασία είναι \(19^ο C\) άρα
\(Τ_{Α}(18)=19\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{-7}{6}\cdot 18+β_2=19 \Leftrightarrow β_2=40\)

Άρα \(T_{A2}(x)=-\dfrac{7}{6}\cdot x+40\)

Τελικά, ο τύπος της συνάρτησης είναι:

$$T_{Α(x)} = \begin{cases} \dfrac{5}{6}\cdot x+10\ \text{,}\ & για\ \ 0\le x\le 15 \\ -\dfrac{7}{6}\cdot x+40\ \text{,}\ & για 15\le x\le 24 \end{cases}$$

Άρα ο σωστός τύπος είναι ο \(2\).
iii. Για τον τύπο της Καβάλας θα υπολογίσουμε το
\(α_{3}\) για τις ώρες \(0\le x\le 12\) : \(α_{3}= \dfrac{9,5-7}{3-0}=\dfrac{2,5}{3}=\dfrac{5}{6}\)
και για \(x=6\) η θερμοκρασία είναι \(12℃\).

Άρα \(T_{K}(6)=\dfrac{5}{6}\cdot 6+β_3\)
\(\Leftrightarrow 12=5+β_3 \Leftrightarrow β_3=7\).

\(T_{K1}(x)=\dfrac{5}{6}\cdot x+7, 0\le x\le 12\)

Aντίστοιχα, το \(α_{4}\) για τις ώρες \(15:00\) έως \(24:00\) : \(α_{4}= \dfrac{12,5-16}{21-18}=\dfrac{-3,5}{3}=\dfrac{-7}{6}\).
Για \(x=18\) η θερμοκρασία είναι \(16^ο C\).

Άρα, \(T_{K}(18)=16\)
\(\Leftrightarrow -\dfrac{7}{6}\cdot 18+β_4=16 \Leftrightarrow β_4=37\)
\(Τ_{2}(x)= -\dfrac{7}{6}\cdot x+37\)

$$Τκ(x)=\begin{cases} \dfrac{5}{6}\cdot x+7\ \text{,}\ & για \ \ 0\le x\le 15 \\ -\dfrac{7}{6}\cdot x+37\ \text{,}\ & για \ \ 15\le x\le 24 \end{cases}$$

γ) Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι οι δύο γραφικές παραστάσεις δεν τέμνονται σε κανένα σημείο, άρα δεν υπάρχει χρονική στιγμή στην οποία οι δύο πόλεις να έχουν την ίδια θερμοκρασία ταυτόχρονα αυτή την ημέρα του Μαρτίου. Αυτό μπορούμε να το συμπεράνουμε επίσης και από το ότι οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ίσοι στα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα, που σημαίνει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα είναι παράλληλα στα ίδια χρονικά διαστήματα, άρα δεν τέμνονται σε κάποιο σημείο.