Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4335 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38812 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 04-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38812 | ||
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 04-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ο σχεδιαστής μιας εταιρείας κατασκευής επίπλων έχει σχεδιάσει το τραπέζι της εικόνας (αριστερά), που η κυκλική γυάλινη επιφάνειά του (δεξιά) έχει εμβαδόν 1,5 τετραγωνικό μέτρο.
α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κυκλικού τζαμιού είναι ίση με \(ρ=\sqrt{\dfrac{3}{2π}}\).
(Μονάδες 7)
β) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κυκλικού τζαμιού είναι μικρότερη από \(0,75\) μέτρα.
(Μονάδες 10)
γ) Ένας τεχνίτης διαθέτει ένα τετράγωνο κομμάτι τζαμιού με εμβαδόν \(2,5\) τετραγωνικά μέτρα. Επαρκεί ώστε να φτιάξει την επιφάνεια του τραπεζιού;
(Μονάδες 8)
Δίνεται ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι \(πρ^{2}\), όπου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου και \(π≃3,14\).
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε:
$$πρ^{2}=1,5$$ $$\Leftrightarrow ρ^{2}=\dfrac{1,5}{π}$$ $$\Rightarrow ρ=\sqrt{\dfrac{1,5}{π}}$$ $$\Leftrightarrow ρ=\sqrt{\dfrac{3}{2π}}$$
β) Η ακτίνα είναι \(ρ=\sqrt{\dfrac{3}{2π}}\).
Είναι \(π≃3,14\) άρα:
$$π>3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{π}<\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2π}<\dfrac{1}{2}$$ $$ \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{2π}}<\sqrt{\dfrac{1}{2}} \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{3}{2π}}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\Leftrightarrow ρ<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Όμως \(\sqrt{2}<1,5\).
Άρα \(ρ<0,75\).
Άλλος τρόπος:
Επειδή \(0,75=\dfrac{3}{4}\), η ζητούμενη ανισότητα \(ρ<0,75\) γράφεται ισοδύναμα:
$$ρ<\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{3}{2π}}<\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{3}{2π}}^{2}<(\dfrac{3}{4})^{2},$$
γιατί τα μέλη της ανίσωσης είναι θετικά.
Ισοδύναμα γράφουμε:
$$\dfrac{3}{2π}<\dfrac{9}{16}$$ $$\Leftrightarrow 48<18π \Leftrightarrow 8<3π$$
που είναι αληθές, γιατί:
$$3π≃3\cdot 3,14>9$$
γ) Για να είναι κατάλληλο το τετράγωνο, χρειάζεται η πλευρά του να είναι μεγαλύτερη από ή ίση με τη διάμετρο της επιφάνειας του τραπεζιού.
Η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με \(\sqrt{2,5}\).
Επειδή η \(\sqrt{2,5}\) είναι άρρητος αριθμός θα βρούμε έναν «βολικό» ρητό που είναι «κοντινός» της αλλά μικρότερος από αυτή. Σκεφτόμαστε ότι η \(\sqrt{2,25}=1,5\), δηλαδή είναι ρητός:
Εφόσον \(2,5>2,25\) ισχύει ότι \(\sqrt{2,5}>\sqrt{2,25}\) ή \(\sqrt{2,5}>1,5\).
Η διάμετρος της επιφάνειας του τραπεζιού είναι \(2ρ\).
Όμως \(ρ<0,75\) ή \(2ρ<1,5\).
Επομένως \(2ρ<\sqrt{2,5}\).
Άρα το τετράγωνο επαρκεί για την κατασκευή της επιφάνειας του τραπεζιού.
Άλλος τρόπος:
Αρκεί να αποδείξουμε ότι:
$$2ρ<\sqrt{2,5}$$ $$\Leftrightarrow ρ<\dfrac{\sqrt{2,5}}{2}$$ $$\Leftrightarrow ρ<\dfrac{\sqrt{2,5}}{\sqrt{4}}$$ $$\Leftrightarrow ρ<\sqrt{\dfrac{2,5}{4}}$$ $$\Leftrightarrow ρ<\sqrt{\dfrac{5}{8}}$$
Όμως:
$$0,75<\sqrt{\dfrac{5}{8}}$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}<\sqrt{\dfrac{5}{8}}$$ $$(\dfrac{3}{4})^{2}<\sqrt{\dfrac{5}{8}}^{2}$$
γιατί τα μέλη της ανίσωσης είναι θετικά
Ισοδύναμα γράφουμε:
$$\dfrac{9}{16}<\dfrac{5}{8}$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{9}{16}<\dfrac{10}{16}$$
που είναι αληθές.
Άρα \(0,75<\sqrt{\dfrac{5}{8}}\).
Επιπλέον, από το β' ερώτημα γνωρίζουμε ότι \(ρ<0,75\).
Άρα \(ρ<\sqrt{\dfrac{5}{8}}\)
ή ισοδύναμα \(2ρ<\sqrt{2,5}\), που είναι το ζητούμενο.