ΛΥΣΗ

α)
Η πλευρά κάθε τετραγώνου είναι υποτείνουσα, έστω \(υ\), ενός ορθογωνίου τριγώνου το οποίο σχηματίζει με τα μισά των πλευρών του προηγούμενου, μεγαλύτερου, από αυτό. Άρα, αν το μεγαλύτερο τετράγωνο έχει πλευρά \(4\ cm\), οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου θα είναι \(\dfrac{4}{2}=2\ cm\). Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι για την υποτείνουσα \(υ\) ισχύει :

$$υ^{2}=2^{2}+2^{2}=8$$

οπότε \(υ=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ cm\).
Όπως και στο ερώτημα α)i., η πλευρά \(y\) του μικρού τετραγώνου είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές \(\dfrac{x}{2}\). Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι

$$y^{2}=(\dfrac{x}{2})^{2}+(\dfrac{x}{2})^{2}$$

$$y^{2}=\dfrac{2x^{2}}{4}$$

και επειδή \(y>0\), βρίσκουμε \(y=\dfrac{x}{\sqrt{2}}\) ή \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

β) Αν \(α_{\text{ν+1}}\) και \(α_{ν}\) οι πλευρές δύο διαδοχικών τετραγώνων, τότε από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι \(\dfrac{α_{\text{ν+1}}}{α_{ν}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Άρα ο λόγος των πλευρών δύο διαδοχικών τετραγώνων είναι σταθερός και ίσος με \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Αυτό σημαίνει ότι οι πλευρές των τετραγώνων είναι όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο \(λ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) και πρώτο όρο την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, δηλαδή \(α_{1}=α\). Οπότε \(α_{ν}=α(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^{ν-1}\).

γ) Πρέπει
\(α_{6}>1\) ή \(6(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^{5}>1\)
ή \(\dfrac{6}{4\sqrt{2}}>1\)
ή \(6>4\sqrt{2}\)
ή \(6^{2}>(4\sqrt{2})^{2}\) ή \(36>32\)

που ισχύει. Άρα, η επιλογή του είναι σωστή.