Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1954 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38845 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 25-Οκτ-2025 | Ύλη: | 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38845 | ||
| Ύλη: | 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 25-Οκτ-2025 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Μια εταιρεία πουλάει φανέλες προς \(25\) € τη μία. Το κόστος παραγωγής κάθε φανέλας είναι \(5\) €. Οι πωλήσεις της εταιρείας με αυτή την τιμή \((25)\) € είναι κατά μέσο όρο \(100\) φανέλες την ημέρα. Η έρευνα δείχνει ότι για κάθε μείωση της τιμής κατά \(1\) €, η εταιρεία πουλάει \(10\) επιπλέον φανέλες.
α) Πόσο κέρδος την ημέρα έχει η εταιρεία, όταν πουλάει την κάθε φανέλα με \(25\) € ;
(Μονάδες 2)
β) Πόσο κέρδος την ημέρα θα έχει η εταιρεία, αν μειώσει την τιμή κάθε φανέλας κατά \(2\) €, δηλαδή από τα \(25\) € στα \(23\) €;
(Μονάδες 5)
γ) Αν η εταιρεία μειώσει την τιμή του προϊόντος κατά \(x\) €, να γράψετε μια σχέση που να εκφράζει το ημερήσιο κέρδος \(P\) της εταιρείας ως συνάρτηση του \(x\).
(Μονάδες 8)
δ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη της συνάρτησης του κέρδους \(P\) σε σχέση με τη μείωση της τιμής \(x\).
Μέχρι πόσο μπορεί να μειώσει η εταιρεία την τιμή κάθε φανέλας, ώστε να μην έχει ζημιά (δηλαδή τα έσοδα να είναι περισσότερα από το κόστος);
(Μονάδες 4)
Να εκτιμήσετε τη μικρότερη τιμή με την οποία μπορεί να πουλάει η εταιρεία την κάθε φανέλα, ώστε το κέρδος της να μην είναι μικρότερο από αυτό που έχει τώρα.
(Μονάδες 6)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Τα συνολικά έσοδα της εταιρείας ανά ημέρα είναι \(25\cdot 100=2500\) € και το συνολικό κόστος παραγωγής \(5\cdot 100=500\) €. Άρα το κέρδος ανά ημέρα είναι \(2500-500=2000\) €.
β) Αν η εταιρεία μειώσει την τιμή της φανέλας κατά 2€, οι συνολικές πωλήσεις αναμένεται να διαμορφωθούν στις \(100+2\cdot 10=120\) μονάδες την ημέρα. Οπότε, τα συνολικά έσοδα θα είναι \(23\cdot 120=2760\) € και το συνολικό κόστος \(5\cdot 120=600\) €. Άρα το κέρδος θα είναι \(2760-600=2160\) €.
γ) Αν η εταιρεία μειώσει την τιμή κατά \(x\) €, δηλαδή στα \(25-x\) € τη φανέλα, θα πουλήσει \(100+10x\) φανέλες. Οπότε τα συνολικά έσοδα θα είναι \((25-x)(100+10x)\) €. Αντίστοιχα, το συνολικό κόστος θα είναι \(5\cdot (100+10x)\) €. Άρα, το κέρδος \(P\) δίνεται από τη σχέση
$$P(x)=(25-x)(100+10x)-5\cdot (100+10x)=$$ $$(100+10x)(20-x)=-10x^{2}+100x+2000 $$
δ)
- Από την καμπύλη της συνάρτησης του κέρδους προκύπτει ότι η εταιρεία μπορεί να μειώσει την τιμή κάθε φανέλας το πολύ κατά \(20\) €, καθώς για μεγαλύτερη μείωση το κέρδος \(P\) παίρνει αρνητικές τιμές, που σημαίνει ότι η εταιρεία έχει ζημιά.
Άλλος τρόπος
Για να μην έχει ζημιά η εταιρεία, θα πρέπει η τιμή πώλησης κάθε φανέλας να μην είναι μικρότερη από το κόστος παραγωγής της. Άρα, η ελάχιστη τιμή πώλησης είναι \(5\) €, οπότε η εταιρεία μπορεί να μειώσει την τιμή της φανέλας το πολύ κατά \(20\) €. - Το κέρδος \(P\) που έχει τώρα η εταιρεία αντιστοιχεί στην τιμή \(x=0\), και είναι \(2000\) €. Από την καμπύλη της συνάρτησης κέρδους προκύπτει ότι για να μην έχει μικρότερο κέρδος από το τωρινό, η εταιρεία μπορεί να μειώσει την τιμή το πολύ κατά 10 €. Άρα η μικρότερη τιμή με την οποία μπορεί να πουλάει τη φανέλα είναι \(25-10=15\) €.
