Θέμα: 38846

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 1544 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	38846	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	07-Μαΐ-2026	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38846
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4
Mια αθλήτρια καταδύσεων προπονείται εκτελώντας βουτιές από έναν βράχο.

Οι θέσεις της αθλήτριας κατά τη διάρκεια μιας βουτιάς μπορούν να θεωρηθούν σημεία πάνω στη
γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^{6}+x^{4}-2$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η αθλήτρια βουτά από ύψος $3\ m$, πέφτει στο νερό στο σημείο $Α$ και, κινούμενη όπως το διάγραμμα, βγαίνει από το νερό στο σημείο $Β$.

α) Να αιτιολογήσετε με βάση τον τύπο της συνάρτησης $f$ ότι η αθλήτρια δεν μπορεί να φτάσει σε βάθος μεγαλύτερο των $2 m$ κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.
(Μονάδες 6)
β)
i. Να βρείτε αν η αθλήτρια περνά από τις θέσεις $(\dfrac{-1}{2},\dfrac{-123}{64})$ και $(\dfrac{1}{4},\dfrac{251}{16})$. Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 7)
ii. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τις οποίες η αθλήτρια βρίσκεται έξω από το νερό. Δίνεται ότι $f(-1,19)=f(1,19)\approxeq 3$.
(Μονάδες 6)
iii. Σε μια βουτιά της η αθλήτρια κολύμπησε από το σημείο $Γ$ ως το σημείο $Β$ ευθύγραμμα. Να βρείτε την απόσταση $ΓΒ$ που διήνυσε η αθλήτρια σε αυτή τη βουτιά.
(Μονάδες 6)

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ
α) Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε τιμή του $x$ ισχύει:

$$f(x)\ge -2x^{6}+x^{4}-2\ge -2x^{6}+x^{4}\ge 0x^{4}(x^{2}+1)\ge 0$$,

που είναι προφανές, διότι $x^{4}\ge 0$ και $x^{2}+1>0$

β)
i. Επειδή

$$f(\dfrac{-1}{2})=(\dfrac{-1}{2})^{6}+(\dfrac{-1}{2})^{4}-2$$ $$=\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{16}-2$$ $$=\dfrac{1+4-2\cdot 64}{64}=\dfrac{-123}{64}$$

η αθλήτρια περνά από τη θέση $(\dfrac{-1}{2},\dfrac{-123}{64})$. Eπειδή από τη γραφική παράσταση της $f$ παρατηρούμε ότι $f(\dfrac{1}{4})<0$, δεν περνά από τη θέση $(\dfrac{1}{4},\dfrac{251}{16})$, όταν βουτά.
ii. Η κίνηση της αθλήτριας έξω από το νερό περιορίζεται στο τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ που καθορίζεται από το σημείο από το οποίο η αθλήτρια πέφτει στο νερό από ύψος $3 m$ και από το σημείο $Α$ όπου εισέρχεται στο νερό. Για τις τετμημένες $x$ των σημείων αυτού τμήματος ισχύει: $x\in [-1,19, -1)$.
iii. H αθλήτρια κολύμπησε ευθύγραμμα την απόσταση $ΓΒ$ μεταξύ των σημείων $Γ(0, -2)$ και $Β(1, 0)$, η οποία είναι:

$$\sqrt{(0-1)^{2}+(-2-0)^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} m$$.