Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1582 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38847 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38847 | ||
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Ο τρόπος με τον οποίο λειτουργούν ηλεκτρικά μέρη συσκευών, όπως οι αντιστάτες και οι πυκνωτές, περιγράφεται από τιμές (αντίσταση, χωρητικότητα κ.λπ.) που αναφέρονται από τον κατασκευαστή, δηλαδή το εργοστάσιο. Στην πράξη, όμως, οι τιμές αυτές μπορεί να διαφέρουν, λόγω μικροδιαφορών κατά την κατασκευή.
α) Ένας κατασκευαστής, που παράγει ένα είδος αντιστάτη, καθορίζει την τιμή της αντίστασής του στα \(680\ Ω\ (Ohm)\) και εγγυάται ότι οι οποιεσδήποτε διαφοροποιήσεις στην κατασκευή δεν υπερβαίνουν το \(5\%\) της τιμής αυτής.
i. Αν \(R\) είναι η πραγματική τιμή της αντίστασης του συγκεκριμένου αντιστάτη, να αιτιολογήσετε ότι η σχέση που αποδίδει μαθηματικά την παραπάνω κατάσταση είναι \(d(R,680)\le 34\) ή αλλιώς \(|R-680|\le 34\).
(Μονάδες 5)
ii. Μπορεί η πραγματική τιμή \(R\) της αντίστασης του συγκεκριμένου αντιστάτη να είναι \(715\ Ω\); Να χρησιμοποιήσετε τη σχέση του ερωτήματος (i) ή οποιονδήποτε άλλον τρόπο, για να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)
iii. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη πραγματική τιμή \(R\) της αντίστασης αυτού του αντιστάτη.
(Μονάδες 5)
β) Ο ίδιος κατασκευαστής, ύστερα από μια αλλαγή στον τρόπο παραγωγής, παρατηρεί ότι οι πραγματικές τιμές των αντιστατών που τώρα παράγει κυμαίνονται μεταξύ \(650\ Ω\) και \(670\ Ω\). Έτσι χρειάζεται να καθορίσει νέα τιμή για την αντίσταση αυτού του είδους αντιστάτη.
i. Να προτείνετε μία νέα τιμή που ο κατασκευαστής μπορεί να καθορίσει για την αντίσταση του συγκεκριμένου αντιστάτη.
(Μονάδες 2)
ii. Με βάση την τιμή που προτείνατε, να βρείτε το ποσοστό της τιμής για το οποίο ο κατασκευαστής μπορεί να εγγυηθεί ότι οι οποιεσδήποτε διαφοροποιήσεις δεν θα υπερβαίνουν αυτό το ποσοστό.
(Μονάδες 8)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
i. Η πραγματική τιμή \(R\) της αντίστασης μπορεί να είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με \(680\ Ω\), αλλά σε κάθε περίπτωση η απόστασή της από τα \(680\ Ω\) του συγκεκριμένου αντιστάτη θα είναι μικρότερη ή ίση του \(5\%\) των \(680\ Ω\) δηλαδή των \(\dfrac{5}{100}\cdot 680=34\ Ω\).
Η σχέση που περιγράφει τα παραπάνω είναι: \(d(R,680)\le 34\) ή \(|R-680|\le 34\).
ii. Από τη σχέση του προηγούμενου ερωτήματος για \(R=715\) διαδοχικά παίρνουμε:
$$|715-680|\le 34 $$ $$\Leftrightarrow 35\le 34$$
που είναι αδύνατο. Άρα δεν μπορεί η πραγματική τιμή της αντίστασης να είναι \(715\ Ω\).
iii. Από τη σχέση του ερωτήματος (i) διαδοχικά έχουμε:
$$|R-680|\le 34$$ $$\Leftrightarrow -34\le R-680\le 34$$ $$\Leftrightarrow 680-34\le R\le 680+34$$ $$\Leftrightarrow 646\le R\le 714$$
Άρα η ελάχιστη πραγματική τιμή της αντίστασης είναι \(646\ Ω\) και η μέγιστη \(714\ Ω\).
β)
i. Αφού οι τιμές που παρατηρεί κυμαίνονται στο διάστημα \([650, 670]\) μία τιμή που μπορεί να δώσει για τον αντιστάτη μπορεί να είναι η τιμή \(660\ Ω\) που βρίσκεται στη μέση του διαστήματος των τιμών αυτών. Εναλλακτικά, μπορεί να καθοριστεί οποιαδήποτε τιμή στο παραπάνω διάστημα, όπως για παράδειγμα η τιμή \(665\ Ω\).
ii. Για την τιμή των \(660\ Ω\): Ζητάμε το ποσοστό \(x\%\), ώστε
$$|R-660|\le \dfrac{x}{100}660$$ $$\Leftrightarrow -6,6x\le R-660\le 6,6x$$ $$\Leftrightarrow 660-6,6x\le R\le 660+6,6x$$
Όμως οι τιμές της αντίστασης \(R\) κυμαίνονται στο διάστημα \([650, 670]\). Άρα:
$$660-6,6x=650$$ $$\Leftrightarrow x=\dfrac{100}{66}\approxeq 1,5$$
Επομένως ο κατασκευαστής μπορεί να εγγυηθεί ότι οι διαφοροποιήσεις από την προκαθορισμένη τιμή του αντιστάτη δεν θα υπερβαίνουν το \(1,5\%\).
Εναλλακτικά: θέλουμε η πραγματική τιμή να μην απέχει περισσότερο από \(10\ Ω\) από το \(660\).
Επειδή \(\dfrac{10}{660}\approxeq 0,015\), το ζητούμενο ποσοστό είναι \(1,5\%\).
Για την τιμή των \(665\ Ω\) εργαζόμαστε ομοίως: θέλουμε η πραγματική τιμή να μην απέχει περισσότερο από \(5\ Ω\) (ώστε να είμαστε εντός του διαστήματος).
Επειδή \(\dfrac{5}{665}\approxeq 0,0075\), το ζητούμενο ποσοστό είναι \(0,75\%\).