Θέμα: 38852

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 1772 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	38852	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	13-Δεκ-2025	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38852
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Δεκ-2025
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Ένα από τα επακόλουθα της υπερθέρμανσης του πλανήτη μας είναι το λιώσιμο των πάγων. Δώδεκα χρόνια μετά το λιώσιμο των πάγων αρχίζουν να αναπτύσσονται στους βράχους μικροσκοπικά φυτά, που ονομάζονται λειχήνες. Κάθε λειχήνα αναπτύσσεται σε σχήμα περίπου κυκλικό. Ο παρακάτω τύπος χρησιμοποιείται, για να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η διάμετρος ($δ$) της λειχήνας σε σχέση με την ηλικία της:

$$δ(t)=7\cdot \sqrt{t-12},$$

όπου $δ$ η διάμετρος της λειχήνας σε $mm$ και $t$ ο αριθμός των χρόνων που έχουν περάσει μετά το λιώσιμο των πάγων.
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
(Μονάδες 6)
β) Ποια είναι η διάμετρος που θα έχει μια λειχήνα $16$ χρόνια μετά το λιώσιμο των πάγων;
(Μονάδες 6)
γ) Η Άννα μέτρησε τη διάμετρο μιας λειχήνας που βρήκε σε κάποιο μέρος και είδε ότι ήταν $35 mm$. Πόσα χρόνια έχουν περάσει από το λιώσιμο των πάγων σε αυτό το μέρος;
(Μονάδες 6)
δ) Αν μια λειχήνα διπλασίασε την επιφάνειά της τα τελευταία $6$ χρόνια, πριν από πόσα χρόνια δημιουργήθηκε;
(Μονάδες 7)
Δίνεται ότι η επιφάνεια κύκλου με διάμετρο $δ$ είναι : $Ε=π\cdot \dfrac{δ}{4}^{2}$.

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α) Εφόσον οι λειχήνες αρχίζουν να αναπτύσσονται $12$ χρόνια μετά το λιώσιμο των πάγων, θα είναι $t\ge 12$ και ισχύει $t-12\ge 0$ άρα ορίζεται η ρίζα. Οπότε το πεδίο ορισμού είναι $Α=[12, +\infty)$.
β) Για $t=16, δ(16)=7 \cdot \sqrt{16-12}=7\cdot \sqrt{4}=7\cdot 2=14,$ η διάμετρος μετά από $16$ χρόνια θα είναι $14\ mm$.
γ) Έχουμε $35=7\cdot \sqrt{t-12},δηλαδή\sqrt{t-12}=5,$ οπότε $t-12=25$ και $t=37$.
δ) Αν έχουν περάσει $t$ χρόνια από το λιώσιμο των πάγων και έχει διπλασιάσει την επιφάνειά της μέσα στα τελευταία $6$ χρόνια θα έχουμε:

$$Ε=π\cdot ρ^{2}=π\cdot \dfrac{δ^{2}}{4}.$$

Για $t$ χρόνια από το λιώσιμο των πάγων, η διάμετρος της λειχήνας είναι $δ(t)= 7\cdot \sqrt{t-12}$ και η επιφάνειά της :

$$Ε=π\cdot \dfrac{(δ(t))^{2}}{4}.$$

Πριν από $6$ χρόνια η διάμετρος ήταν $δ(t-6)=7\cdot \sqrt{t-6-12}=7\sqrt{t-18}$ και η επιφάνεια ήταν $Ε= π\cdot \dfrac{(δ(t-6))^{2}}{4}$

Εφόσον διπλασιάστηκε σε αυτά τα 6 χρόνια, θα ισχύει:

$$π \cdot \dfrac {(δ(t))^2}{4}=2 \cdot π \cdot \dfrac{(δ(t-6))^2}{4},$$

$$δ(t)^{2} = 2\cdotδ(t-6)^{2},$$

$$49\cdot \sqrt{t-12}^{2}=2\cdot 49\cdot \sqrt{t-18}^{2}$$

$$t-12=2(t-18),$$

$$t-12=2t-36$$

$$36-12=2t-t,$$

$$t=24.$$

Άρα έχουν περάσει $24$ χρόνια από το λιώσιμο των πάγων.