Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 1475 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38857 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 13-Δεκ-2025 | Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38857 | ||
| Ύλη: | 5.3. Γεωμετρική πρόοδος | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Δεκ-2025 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Η Άννα αποφάσισε να ξεκινήσει μια επιχείρηση πώλησης βιολογικού μελιού. Για να διαφημίσει το προϊόν της, χρησιμοποιεί ένα πρόγραμμα προώθησης, κάνοντας έκπτωση σε όποιον πελάτη αγοράσει ένα βάζο μέλι και συστήσει το προϊόν σε δύο φίλους του. Αν στη συνέχεια αυτοί οι δύο συστημένοι φίλοι αγοράσουν και αυτοί μέλι και συστήσουν με τη σειρά τους την επιχείρηση σε άλλους δύο φίλους τους ο καθένας, παίρνουν και αυτοί έκπτωση κ.ο.κ. Αρχικά λοιπόν, στην πρώτη φάση, η Άννα πουλάει το πρώτο της βάζο μελιού σε έναν πελάτη, ο οποίος συστήνει με τη σειρά του την επιχείρηση σε δύο φίλους του, και ευελπιστεί ότι το πρόγραμμα προώθησης που σκέφτηκε θα πετύχει.
α) Η Άννα σκέφτηκε ότι αν πετύχει αυτό το πρόγραμμα προώθησης που έχει σκεφτεί και όλοι οι συστημένοι πελάτες με τη σειρά τους αγοράσουν μέλι, τότε ο αριθμός των συστημένων πελατών που θα αγοράσουν μέλι σε κάθε φάση είναι όροι γεωμετρικής προόδου.
i. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τον λόγο αυτής της προόδου.
(Μονάδες 4)
ii. Να υπολογίσετε τον αριθμό των καινούριων πελατών που θα αγοράσουν μέλι στην 7η φάση αυτής της διαδικασίας, εφόσον πετύχει.
(Μονάδες 7)
iii. Πόσα βάζα θα έχει πουλήσει συνολικά η Άννα μέχρι και την 7η φάση αυτής της διαδικασίας προώθησης, εφόσον όλοι οι πελάτες έχουν ακολουθήσει αυτή τη διαδικασία με επιτυχία;
(Μονάδες 7)
β) Η Άννα, κάνοντας έναν οικονομικό προϋπολογισμό, σκέφτηκε ότι η παραπάνω προωθητική στρατηγική δεν μπορεί να συνεχιστεί για πάντα, καθώς το μέλι θα αρχίσει να πουλιέται πολύ φθηνά. Έτσι σύμφωνα με τον σχεδιασμό της, πρέπει να φτάσει το πολύ μέχρι \(9\) φάσεις, ενώ ταυτόχρονα οι συνολικοί πελάτες να είναι λιγότεροι από \(500\). Μπορεί να επιτευχθεί αυτό το πλάνο της Άννας; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 7)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α)
Αρχικά αγοράζει μέλι ένας πελάτης και στη συνέχεια αυτός συστήνει το προϊόν και αγοράζουν μέλι \(2\) καινούριοι πελάτες και αυτοί με τη σειρά τους συστήνουν σε άλλους \(2\) ο καθένας, άρα \(4\) συνολικά κ.ο.κ.
Άρα έχουμε τη γεωμετρική πρόοδο: \(1, 2, 4,…\) με πρώτο όρο \(α_{1}=1\) και λόγο \(λ=2\).
Για να βρούμε τον ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:
$$α_{ν}=α_{1}\cdot λ^{-1}=1\cdot 2^{-1}=2^{-1}$$
Για να υπολογίσουμε τον 7ο όρο θα αντικαταστήσουμε όπου \(ν=7\) και έχουμε:
$$α_{7}=2^{7-1}=2^{6}=64$$
άρα \(64\) καινούριοι πελάτες θα αγοράσουν μέλι στην 7η φάση της διαδικασίας.
Μετά από τη ν-οστή φάση αυτής της διαδικασίας θα έχουν πουληθεί συνολικά
$$S_{ν}=α_{1}\cdot \dfrac{λ^{ν}-1}{λ-1}=1\cdot \dfrac{2^{ν}-1}{2-1}=2^{ν}-1$$ βάζα μέλι
Άρα, \(S_{7}=2^{7}-1=128-1=127\). Άρα, αν πετύχει η διαδικασία προώθησης που σκέφτηκε η Άννα, μετά από 7 φάσεις που θα έχουν πραγματοποιηθεί με επιτυχία, θα έχει πουλήσει \(127\) βάζα μελιού συνολικά.
Εναλλακτικός τρόπος: Υπολογίζοντας ξεχωριστά και αθροίζοντας τους 7 πρώτους όρους: \(α_{1}+α_{2}+α_{3}+α_{4}+α_{5}+α_{6}+α_{7}=1+2+4+8+16+32+64=127\)
β) Αφού θέλει να διεξαχθούν το πολύ \(9\) φάσεις αυτής της διαδικασίας, συνολικά οι πελάτες που θα αγοράσουν μέλι με αυτή τη διαδικασία, εφόσον πετύχει σε όλες τις φάσεις της, θα είναι το πολύ: \(S_{9}=2^{9}-1=512-1=511\).
Η 9η φάση λοιπόν δεν πρέπει να ολοκληρωθεί, καθώς τότε θα υπερβεί το πλήθος των \(500\) πελατών.