Θέμα: 38871

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 2180 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	38871	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	12-Δεκ-2025	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38871
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Δεκ-2025
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4
Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι σε μια κατακόρυφη βολή προς τα πάνω η σχέση που συνδέει το ύψος (την απόσταση στην οποία φτάνει το βλήμα από το έδαφος) $h$ σε $m$, την επιτάχυνση της βαρύτητας $g$ σε $m/s^{2}$, την αρχική ταχύτητα $υ_{0}$ σε $m/s$ και τον χρόνο $t$ σε $sec$ είναι η $h=υ_{0}\cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$. Επίσης, γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα του βλήματος $υ$ σε χρόνο $t$ από την αρχή της κίνησης είναι $υ=υ_{0}-gt$.
Σε ένα πείραμα για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια του Άρη, ένα βλήμα βάλλεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα $υ_{0}=10 m/s$. Από τα δεδομένα του πειράματος γίνεται γνωστό ότι το βλήμα χρειάζεται $t=5,4 s$ για να επιστρέψει στο επίπεδο από όπου ξεκίνησε (σημείο με μηδενικό ύψος). Στον Άρη η ατμόσφαιρα είναι εξαιρετικά αραιή και για αυτόν τον λόγο η αντίσταση θεωρείται αμελητέα.
α) Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πειράματος, να βρείτε ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στον πλανήτη Άρη.
(Μονάδες 7)
β)
i. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι η τροχιά του βλήματος είναι συμμετρική (χρόνος ανόδου = χρόνος καθόδου), ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος στο οποίο θα φτάσει όταν βρίσκεται στον πλανήτη Άρη;
(Μονάδες 6)
ii. Να συγκρίνετε αυτό το ύψος με το μεγαλύτερο ύψος στο οποίο θα μπορούσε να φτάσει, αν το ίδιο βλήμα έκανε την ίδια ακριβώς κίνηση στη Γη, που έχει επιτάχυνση της βαρύτητας $g=10 m/s^{2}$ (θεωρούμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα).
(Μονάδες 7)
γ) Η Αλεξάνδρα λέει στον συμμαθητή της τον Μάριο: «Αν έχουμε ένα drone στον Άρη, το βάρος του θα είναι περίπου το $\dfrac{1}{3}$ του βάρους που θα είχε στη Γη, άρα είναι πιο εύκολο να απογειωθεί». Συμφωνείτε με την Αλεξάνδρα; Να εξηγήσετε την σκέψη σας.
(Μονάδες 5)
Δίνεται τύπος υπολογισμού βάρους: $W=m\cdot g,$ όπου $m$ η μάζα του σώματος.

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ
α) Μετά από $5,4 s$ θα είναι σε ύψος $h= 0$, άρα από την σχέση $h=υ_{0}\cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$ έχουμε

$$0=10\cdot 5,4-\dfrac{1}{2}g\cdot 5,4^{2}$$ $$0=54-\dfrac{1}{2}g\cdot 29,16$$ $$54=\dfrac{1}{2}g\cdot 29,16$$ $$54=g\cdot 14.58$$ $$g=\dfrac{54}{14,58}\approxeq 3,70 m/s^{2}$$.

β)
Από τον τύπο του ύψους $h=υ_{0}\cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$, για $t_{\text{ανόδου}}=t_{\text{καθόδου}}=\dfrac{5,4}{2}=2,7\ s$, έχουμε:

$$h=10\cdot 2,7-\dfrac{1}{2}\cdot 3,7\cdot 2,7^{2} = 27-1,85\cdot 7,29\approxeq 27-13,5=13,5 m$$. Για να βρούμε το ίδιο στη Γη, πρέπει για $h=0$ να βρούμε το $t$ :

$$h=υ_{0}\cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$$ $$0=10\cdot t-\dfrac{1}{2}10t^{2}$$ $$10t-5t^{2}=0$$ $$5t(2-t)=0$$ $$t=0 s ή t=2 s$$.

Για $t=0 s$ είναι η στιγμή εκκίνησης και για $t=2$ s είναι η συνολική κίνηση της βολής, άρα για το μέγιστο ύψος εφόσον $t_{\text{ανόδου}}=t_{\text{καθόδου}}$ θα έχουμε $t=1 s$.

Άρα ο τύπος του ύψους είναι: $h=υ_{0}\cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2}=10\cdot 1-\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 1=10-5=5 m$.

Άρα στη Γη φτάνει στα $5 m$ σε $1 sec$ ενώ στον Άρη στα $13,5m$ σε $2,7\ sec$

γ) Θα είναι το ίδιο drone, άρα θα έχει την ίδια μάζα και στους δυο πλανήτες. Βρίσκουμε το βάρος για κάθε πλανήτη:

$$W_{Γη}=m\cdot 10, W_{\text{Άρη}}=m\cdot 3,7$$ και διαιρούμε κατά μέλη:

$$\dfrac{W_{Γη}}{W_{\text{Άρη}}}=\dfrac{m\cdot 10}{m\cdot 3,7}=\dfrac{10}{3,7}\approxeq 2,7$$

Άρα το βάρος στον Άρη θα είναι $2,7$ φορές μικρότερο από αυτό στη Γη, άρα η Αλεξάνδρα έχει δίκιο.