Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 2038 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 38874 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 07-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 38874 | ||
| Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Σε ένα γραπτό τεστ γνώσεων η μέγιστη βαθμολογία είναι \(100\) και η ελάχιστη είναι \(0\).
Το τεστ αποτελείται από \(20\) ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, καθεμία από τις οποίες έχει μοναδική σωστή απάντηση. Το τεστ βαθμολογείται ως εξής:
κάθε σωστή απάντηση αντιστοιχεί σε \(5\) μονάδες και υπάρχει «αρνητική βαθμολογία» \(0,5\) μονάδα, δηλαδή αφαιρείται \(0,5\) μονάδα για κάθε λανθασμένη απάντηση. Επίσης, αν σε κάποια ερώτηση δεν δοθεί καμία απάντηση, αυτή δεν βαθμολογείται.
Πλήρως απαντημένο θεωρείται ένα τεστ, του οποίου έχουν απαντηθεί όλες οι ερωτήσεις, είτε σωστά είτε λανθασμένα.
α) Πόσους βαθμούς θα πάρει ένα πλήρως απαντημένο τεστ με δύο σωστές απαντήσεις;
(Μονάδες 5)
β)
i. Ένα πλήρως απαντημένο τεστ πήρε \(0\). Να αποδείξετε ότι είχε το πολύ μία σωστή απάντηση.
(Μονάδες 10)
ii. Να αποδείξετε ότι η βαθμολογία ενός πλήρως απαντημένου τεστ, με περισσότερες από μία σωστές απαντήσεις, είναι \(5,5x-10\), όπου \(x\) είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων.
(Μονάδες 5)
iii. Ένα τεστ βαθμολογήθηκε με \(84\). Ήταν το τεστ πλήρως απαντημένο; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 5)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
ΛΥΣΗ
α) Ένα πλήρως απαντημένο τεστ με δύο σωστές απαντήσεις έχει \(18\) λανθασμένες, άρα θα πάρει \(5\cdot 2-18\cdot 0,5=1\) βαθμό.
β)
i. Με βάση τον τρόπο βαθμολόγησης, ένα πλήρως απαντημένο τεστ με \(x\) σωστές απαντήσεις παίρνει \(5\cdot x-0,5\cdot (20-x)=5x+0,5x-10=5,5x-10\) βαθμούς.
Ωστόσο, αν η βαθμολογία με τον παραπάνω τύπο είναι αρνητική (ή μηδέν), θα πάρει \(0\).
Λύνουμε την ανίσωση \(5,5x-10\le 0\) ή \(5,5x\le 10\) ή \(x\le \dfrac{10}{5,5}\) ή \(x\le \dfrac{20}{11}=1,8181…\) .
Επειδή όμως ο \(x\) είναι φυσικός αριθμός, γιατί εκφράζει πλήθος απαντήσεων, είναι \(x\le 1\).
Άρα ένα πλήρως απαντημένο τεστ με \(0\) ή \(1\) σωστή απάντηση παίρνει \(0\) βαθμούς.
Άλλος τρόπος:
Για να είναι \(5,5x-10\le 0\) θα πρέπει να είναι:
$$x=0$$ άρα $$5,5\cdot 0-10=-10$$
$$x=1$$ άρα $$5,5\cdot 1-10=-4,5$$
Για μεγαλύτερες τιμής του \(x\), όπως \(x=2\) έχουμε \(5,5\cdot 2-10=1\), άρα θετικές βαθμολογίες.
ii. Από το βi:
Για \(0\le x\le 1\), η βαθμολογία είναι \(0\).
Για \(2\le x\le 20\), ο τύπος \(5,5x-10\) δίνει τη βαθμολογία, η οποία όμως δεν πρέπει να υπερβαίνει το \(100\). Λύνουμε την ανίσωση \(5,5x-10\le 100\) ή \(5,5x\le 110\) ή \(x\le 20\), που επαληθεύεται για κάθε τιμή του ακέραιου \(x\in [2, 20]\).
Άρα η βαθμολογία \(5,5x-10\) δεν υπερβαίνει τις \(100\) μονάδες.
Συνεπώς, η βαθμολογία ενός πλήρως απαντημένου τεστ, με περισσότερες από μία σωστές απαντήσεις είναι \(5,5x-10\), όπου \(x\) είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων.
iii. Οι σωστές απαντήσεις ενός τεστ με βαθμολογία \(84\) είναι περισσότερες από μία.
Αν είναι πλήρως απαντημένο, τότε η βαθμολογία δίνεται από τον τύπο \(5,5x-10\), από το βii. Λύνουμε την παρακάτω εξίσωση, για να βρούμε το πλήθος των σωστών απαντήσεων:
$$5,5x-10=84\text{ ή }5,5x=94\text{ ή }x=\dfrac{94}{5,5}=17,090909…$$
Όμως το πλήθος των σωστών απαντήσεων είναι ακέραιος μεγαλύτερος του \(1\), άρα δεν μπορεί να είναι \(17,090909…\)
Επομένως, εφόσον ο τύπος \(5,5x-10\) δεν εφαρμόζεται, το τεστ δεν είναι πλήρως απαντημένο.
Σχόλιο: Για \(17\) σωστές απαντήσεις, \(2\) λανθασμένες και \(1\) αναπάντητη ερώτηση, η βαθμολογία είναι \(17\cdot 5-2\cdot 0,5=84\).